Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Cho x,y là các số thực không đồng thời bằng 0 thoã mãn x+y=1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\geq 2$



#2
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Thế $y=1-x$ vào thì ta cần cm:

$\frac{1}{x^{2}+(1-x)^{2}}+\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}+1}+\frac{(1-x)^{2}}{x^{2}+1}\geq 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2x^{2}-2x+1}+\frac{2x-2}{x^{2}-2x+2}-\frac{2x}{x^{2}+1}\geq 0$

$\Leftrightarrow 5x^{2}(x-1)^{2}\geq 0$

Luôn đúng

Dấu = có được khi $(x=0;y=1);(x=1;y=0)$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh