Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Tung 126]

Bài này có người đăng rồi nhưng chưa ai làm được .Tiện thể ình đăng lại luôn 

   Cho $0\leq a,b,c\leq \frac{1}{2},a+b+c=1$.CMR:

      $A=a^3+b^3+c^3+4abc\leq \frac{9}{32}$

[nam8298]

giả sử a là max {a,b,c}

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{23}{32}+7abc\leq 3(ab+bc+ca)$

mặt khác ta có $(1-2a)(1-2b)(1-2c)\geq 0\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)\geq 6abc+\frac{3}{4}$

ta chứng minh 6abc+$6abc+\frac{3}{4}\geq 7abc+\frac{23}{32}\Leftrightarrow \frac{1}{32}\geq abc$

áp dụng AM-GM ta có abc $\leq a\frac{(b+c)^{2}}{4}= a\frac{(1-a)^{2}}{4}\leq \frac{1}{32}$

[Hoang Tung 126]

Mình có cách khác như sau :$\sum (a-\frac{1}{4})^2(a-\frac{1}{2})\leq 0< = > \sum a^3\leq \sum a^2+\frac{3}{32}< = > \sum a^3+4abc\leq \sum a^2+4abc+\frac{3}{32}=(1-2\sum ab)+4abc+\frac{3}{32}< = > 2\sum a^3+8abc\leq +(2a-1)(2b-1)(2c-1)+\frac{18}{32}\leq \frac{18}{32}< = > \sum a^3+4abc\leq \frac{9}{32}$