Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max: $M=\sum \frac{1}{1-bc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
leduylinh1998

leduylinh1998

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 288 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm Max:

$M=\sum \frac{1}{1-bc}$



#2
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

ta có $M=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}$

$\frac{1}{1-ab}-1=\frac{ab}{1-ab}$

suy ra M-3=$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ac}$

ta có $2M-6=\frac{4ab}{2-2ab}+\frac{4bc}{2-2bc}+\frac{4ca}{2-2ca}=\frac{4ab}{(a-b)^{2}+c^{2}+1}+\frac{4bc}{(b-c)^{2}+1+a^{2}}+\frac{4ca}{(c-a)^{2}+1+b^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+a^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{c^{2}+b^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=3$

suy ra $2M-6\leq 3$

suy ra $M\leq \frac{9}{2}$



#3
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

ta có

$\sum \frac{1}{1-bc}=3+\sum \frac{bc}{1-bc}$ (1)

ta lại có

$\sum \frac{bc}{1-bc}\leq\sum \frac{2bc}{2-b^{2}-c^{2}}= \sum \frac{4bc}{2(2a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{(b+c)^{2}}{2(2a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ (2)

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{(b+c)^{2}}{2(2a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{b^{2}}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{2(a^{2}+c^{2})}+\frac{a^{2}}{2(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{2(b^{2}+c^{2})}+\frac{b^{2}}{2(b^{2}+c^{2})}+\frac{a^{2}}{2(a^{2}+c^{2})}$

$\Rightarrow \sum \frac{(b+c)^{2}}{2(2a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{3}{2}$ (3)

(1)(2) suy ra Max của M=$\frac{9}{2}$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 24-12-2013 - 12:31





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh