Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$
Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$
#1
Đã gửi 24-12-2013 - 15:55
#2
Đã gửi 24-12-2013 - 19:31
Dễ cm được: x chia cho 4 dư 1
*TH1: x=1 là nghiệm của phương trình
*TH2: x=5 không là nghiệm
*TH: $x\geq 7$
Ta có: $10^{x}=(9+1)^{x}=9^{x}+x.9^{x-1}+...+1>9^{x}+x.9^{x-1}>9^{x}+x.7^{x-1}\geq 9^{x}+7^{x}$ ( vô lý)
Vậy S={1}
#3
Đã gửi 26-12-2013 - 08:10
Dễ cm được: x chia cho 4 dư 1
*TH1: x=1 là nghiệm của phương trình
*TH2: x=5 không là nghiệm
*TH: $x\geq 7$
Ta có: $10^{x}=(9+1)^{x}=9^{x}+x.9^{x-1}+...+1>9^{x}+x.9^{x-1}>9^{x}+x.7^{x-1}\geq 9^{x}+7^{x}$ ( vô lý)
Vậy S={1}
Giải vậy sai rùi bạn còn nghệm x=0 mà
- Vu Van Quy yêu thích
#4
Đã gửi 26-12-2013 - 14:47
Giải phương trình $7^x+9^x=6^x+10^x$
Giải:
$$7^x+9^x=6^x+10^x$$
$$\Leftrightarrow 7^x + (16 -7)^x= 6^x + (16-6)^x (1)$$
Giả sử pt có nghiệm $\alpha$. Từ $(1)$ ta có
$$\Leftrightarrow 7^\alpha + (16 -7)^\alpha= 6^\alpha + (16-6)^\alpha (2)$$
Xét hàm số $f(t)= \left(16 -t \right )^\alpha+ t^\alpha$, với $t>0 $. Từ $(2) $ ta có
$$f(7)= f(6)\Leftrightarrow f(7)- f(6) =0 $$
Rõ ràng hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left [ 6;7 \right ]$ và $f'(t)= \alpha \left[ -(16 - t)^{\alpha -1 }+ t^{\alpha -1}\right ], \forall t \in (6;7).$
Theo định lý Lagrange, tồn tại $c\in (6;7)$ sao cho
$$f(7)-f(6)=f'(c)(7-6)=0\Leftrightarrow f'(c)=0$$
$\Leftrightarrow\alpha \left[ -(16 - c)^{\alpha -1 }+ c^{\alpha -1}\right ]=0\Leftrightarrow \alpha =0\vee (16 - c)^{\alpha -1 }= c^{\alpha -1} \Leftrightarrow\alpha =0 \vee\alpha=1$
Thay $x=1, x=0 $ vào pt đã cho thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là $x=0,x=1$
$$\mathfrak{Curiosity}$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh