Chủ đề này có 11 trả lời

[kevotinh2802]

Bài 1: Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm đơn điệu $\left [ a,b \right ]$ thì tồn tại giới hạn trái tại b và giới hạn phải tại a.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ và tồn tại giới hạn hữu hạn tại các điểm 0+ và +$\infty$,khi đó f(x) liên tục đều trên $\left ( 0,+\infty \right )$. Điều ngược lại có đúng ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-12-2013 - 20:26

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Bài 1: Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm đơn điệu $\left [ a,b \right ]$ thì tồn tại giới hạn trái tại b và giới hạn phải tại a.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ và tồn tại giới hạn hữu hạn tại các điểm 0+ và +$\infty$,khi đó f(x) liên tục đều trên $\left ( 0,+\infty \right )$. Điều ngược lại có đúng ko?

Mình chỉ chứng minh cho trường hợp f là hàm đơn điệu tăng, và cho giới hạn tại b. Trường hợp khác thì tương tự thôi.

 

$\forall x\in (a, b)$, $f(x)$ là hàm bị chặn trên bởi f(b) do f là hàm đơn điệu tăng.

 

Đặt $A=sup\{f(x)|x\in (a,b)\}$. Ta sẽ chứng minh rằng $lim_{x\to b}f(x)=A$.

 

Vì A là sup, nên với mọi $\epsilon>0$, $\exists x_{0}\in (a,b)$ sao cho $A-\epsilon< f(x_{0})\leq A< A+\epsilon$

Suy ra, $|f(x_{0})-A|<\epsilon$ (1)

Vì f là hàm tăng nên $\forall x_{0}<x<b$, ta đều có $|f(x)-A|<\epsilon$

Chọn $\delta=b-x_{0}$, ta được $|f(x)-A|<\epsilon$ nếu $b-x<\delta$

 

đpcm

[kevotinh2802]

Mình chỉ chứng minh cho trường hợp f là hàm đơn điệu tăng, và cho giới hạn tại b. Trường hợp khác thì tương tự thôi.

 

$\forall x\in (a, b)$, $f(x)$ là hàm bị chặn trên bởi f(b) do f là hàm đơn điệu tăng.

 

Đặt $A=sup\{f(x)|x\in (a,b)\}$. Ta sẽ chứng minh rằng $lim_{x\to b}f(x)=A$.

 

Vì A là sup, nên với mọi $\epsilon>0$, $\exists x_{0}\in (a,b)$ sao cho $A-\epsilon< f(x_{0})\leq A< A+\epsilon$

Suy ra, $|f(x_{0})-A|<\epsilon$ (1)

Vì f là hàm tăng nên $\forall x_{0}<x<b$, ta đều có $|f(x)-A|<\epsilon$

Chọn $\delta=b-x_{0}$, ta được $|f(x)-A|<\epsilon$ nếu $b-x<\delta$

 

đpcm

oke,bài 2 bạn làm thế nào vậy?

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$$a = \lim_{x \to 0^+}f\left ( x \right ), b=\lim_{x\to \infty}f\left ( x \right )$$

$\forall \epsilon >0$,

$$\exists M >0: \left | f\left ( x \right )-b \right |<\frac{\epsilon}{2} , \forall x > M$$

$$\Rightarrow \forall x_1,x_2 > M, \left | f\left ( x_1 \right )-f\left ( x_2 \right ) \right |<\epsilon$$

Tương tự, $\exists m>0,\left | f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right |<\epsilon ,\forall 0 <x,y<m$

$f$ liên tục đều trên $\left ( 0,m \right ],\left [ m,M \right ],\left [ M,\infty \right )$, do đó liên tục trên $( 0,\infty)$.

Điều ngược lại không đúng.

Xét hàm $f(x)=\sin^2 {x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChangBietDatTenSaoChoDoc: 25-12-2013 - 22:14

[fghost]

(2) Mở rộng $f$ trên $[0,\infty)$ sao cho $f$ liên tục (đặt $f(0)=\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)$). Rõ ràng với mọi $n>0,$ $f$ liên tục đều trên $[0,n]$. Đặt $L=\lim_{x\rightarrow \infty}$. Với mọi $\varepsilon >0,$ tồn tại $N$ sao cho với mọi $y>N$, $|f(y)-L|\leq \frac{1}{2}\varepsilon.$ Mà trên $[0,N+1]$ $f$ liên tục đều, nên tồn tại $\delta >0$ sao cho với mọi $x,y \in [0,N+1], |x-y| < \delta$, $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon.$

 

Nên lấy $\delta_0=\min(\delta, 1),$ thì với mọi $x < y \in [0,\infty)$ sao cho $|x-y|<\delta_0$, ta có nếu $y\leq N+1,$ thì $x,y \in [0,N+1]$, nên ta có $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon,$ nếu $y>N+1,$ mà $|x-y|<1$, thì $x>N$, do đó,

$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-L+L-f(y)| \leq |f(x)-L|+|L-f(y)| \leq \varepsilon$$

Do đó, $f$ liên tục đều trên $[0,\infty),$ nên trên $(0,\infty)$

 

Chiều ngược lại chỉ đúng tại $0$.

Vì $f$ liên tục đều trên $(0,\infty)$, nên với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $\delta >0$, sao cho với mọi $x_n \rightarrow 0$, $|x_n-x_m| <\delta$, $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$, nên $\{f(x_n)\}$ là chuỗi Cauchy, nên hội tụ. Nên $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ hội tụ hữu hạn.

[kevotinh2802]

Giúp mình mấy bài này nữa,mấy hôm nay đang ôn thi mà chẳng hiểu gì hết

Bài 1 :a) cho hàm số f(x) có đạo hàm bị chặn trên R. Chứng minh rằng f(x) liên tục đều trên R.

b) CMR hàm $f(x)=sin^{2012}x$ liên tục đều trên R.

Bài 2: Cho hàm số f(x) cho bởi thác triển sau: f(x)=0 nếu x=0, $f(x)=x^2.sin\frac{1}{x}$ nếu $x\neq 0$. Chứng minh rằng $f'(x)=0$ có vô số nghiệm trong khoảng (0,1)

Bài 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn $\left [ 0 ,\right1 ]$ và $f'(0)=0$ và $f'(1)=1$. CMR với mọi k$\in (0,1)$ tồn tại c$\in (0,1)$ sao cho $f'(c)=k$

[fghost]

$$a = \lim_{x \to 0^+}f\left ( x \right ), b=\lim_{x\to \infty}f\left ( x \right )$$

$\forall \epsilon >0$,

$$\exists M >0: \left | f\left ( x \right )-b \right |<\frac{\epsilon}{2} , \forall x > M$$

$$\Rightarrow \forall x_1,x_2 > M, \left | f\left ( x_1 \right )-f\left ( x_2 \right ) \right |<\epsilon$$

Tương tự, $\exists m>0,\left | f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right |<\epsilon ,\forall 0 <x,y<m$

$f$ liên tục đều trên $\left ( 0,m \right ],\left [ m,M \right ],\left [ M,\infty \right )$, do đó liên tục trên $( 0,\infty)$.

Điều ngược lại không đúng.

Xét hàm $f(x)=\sin^2 {x}$

Nếu $f$ liên tục đều trên $(0,m], [m,M] (*)$, thì ta có thể kết luận ngay lập tức $f$ liên tục đều trên $(0,M]$ hay không?

 

Vì để chứng minh $f$ liên tục đều trên $(0,M]$ ta cần với $\varepsilon$ cho trước, ta tìm được $\delta>0$ sao cho với $|x-y|<\delta$ thì $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Với mọi $x,y \in (0,m]$ và $x,y \in [m,M]$ thì dĩ nhiên ta không có vấn đề gì, nhưng ta không thể nói gì được (tạm thời là vậy) với $x \in (0,m]$ và $y \in [m,M]$ với $|x-y|<\delta$ chỉ từ giả thiết $(*)$.

 

Vì thế trong bài này, mình phải "chứng minh" thêm 1 chút xíu nữa, khi cố gắng tìm 2 khoảng giao nhau $[0,N+1]$ và $[N,\infty)$, và $\delta_0 = \min(\delta,1)$ để có thể giải quyết vấn đề trên.

[fghost]

Giúp mình mấy bài này nữa,mấy hôm nay đang ôn thi mà chẳng hiểu gì hết

Bài 1 :a) cho hàm số f(x) có đạo hàm bị chặn trên R. Chứng minh rằng f(x) liên tục đều trên R.

b) CMR hàm $f(x)=sin^{2012}x$ liên tục đều trên R.

Bài 2: Cho hàm số f(x) cho bởi thác triển sau: f(x)=0 nếu x=0, $f(x)=x^2.sin\frac{1}{x}$ nếu $x\neq 0$. Chứng minh rằng $f'(x)=0$ có vô số nghiệm trong khoảng (0,1)

Bài 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn $[ 0 ,1 ]$ và $f'(0)=0$ và $f'(1)=1$. CMR với mọi $k \in (0,1)$ tồn tại $c \in (0,1)$ sao cho $f'(c )=k$

(1) (a) $f'$ bị chặn nên $f$ Lipschitz, nên $f$ liên tục đều.

(b) $f'(x)=2012\sin^{2011}(x)\cos(x)$ và $|f'(x)|<2012$ bị chặn, nên $f$ liên tục đều.

 

(2) Trên $(0,1)$, $f'(x)=2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})=g(x)$. Ta muốn chứng minh $g(x)$ có vô số nghiệm trong $(0,1)$. Ta thấy, $g(x)$ liên tục trên $(0,1)$, $g(\frac{1}{2k})=-1$ và $g(\frac{1}{2k+1})=1$. Vì vậy giữa mỗi $\frac{1}{2k}$ và $\frac{1}{2k+1}$, $g=f'$ sẽ có 1 nghiệm, với mọi $k\in N$. ĐPCM.

 

(3) Kết quả trực tiếp từ định lý Darboux (Giá trị trung bình cho đạo hàm của hàm số).

[kevotinh2802]

(1) (a) $f'$ bị chặn nên $f$ Lipschitz, nên $f$ liên tục đều.

(b) $f'(x)=2012\sin^{2011}(x)\cos(x)$ và $|f'(x)|<2012$ bị chặn, nên $f$ liên tục đều.

 

(2) Trên $(0,1)$, $f'(x)=2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})=g(x)$. Ta muốn chứng minh $g(x)$ có vô số nghiệm trong $(0,1)$. Ta thấy, $g(x)$ liên tục trên $(0,1)$, $g(\frac{1}{2k})=-1$ và $g(\frac{1}{2k+1})=1$. Vì vậy giữa mỗi $\frac{1}{2k}$ và $\frac{1}{2k+1}$, $g=f'$ sẽ có 1 nghiệm, với mọi $k\in N$. ĐPCM.

 

(3) Kết quả trực tiếp từ định lý Darboux (Giá trị trung bình cho đạo hàm của hàm số).

 

(1) (a) $f'$ bị chặn nên $f$ Lipschitz, nên $f$ liên tục đều.

(b) $f'(x)=2012\sin^{2011}(x)\cos(x)$ và $|f'(x)|<2012$ bị chặn, nên $f$ liên tục đều.

 

(2) Trên $(0,1)$, $f'(x)=2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})=g(x)$. Ta muốn chứng minh $g(x)$ có vô số nghiệm trong $(0,1)$. Ta thấy, $g(x)$ liên tục trên $(0,1)$, $g(\frac{1}{2k})=-1$ và $g(\frac{1}{2k+1})=1$. Vì vậy giữa mỗi $\frac{1}{2k}$ và $\frac{1}{2k+1}$, $g=f'$ sẽ có 1 nghiệm, với mọi $k\in N$. ĐPCM.

 

(3) Kết quả trực tiếp từ định lý Darboux (Giá trị trung bình cho đạo hàm của hàm số).

Toàn cái chưa học bạn à!

[kevotinh2802]

$$a = \lim_{x \to 0^+}f\left ( x \right ), b=\lim_{x\to \infty}f\left ( x \right )$$

$\forall \epsilon >0$,

$$\exists M >0: \left | f\left ( x \right )-b \right |<\frac{\epsilon}{2} , \forall x > M$$

$$\Rightarrow \forall x_1,x_2 > M, \left | f\left ( x_1 \right )-f\left ( x_2 \right ) \right |<\epsilon$$

Tương tự, $\exists m>0,\left | f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right |<\epsilon ,\forall 0 <x,y<m$

$f$ liên tục đều trên $\left ( 0,m \right ],\left [ m,M \right ],\left [ M,\infty \right )$, do đó liên tục trên $( 0,\infty)$.

Điều ngược lại không đúng.

Xét hàm $f(x)=\sin^2 {x}$

Giúp mình hướng làm 2 bài này 

Bài 1: Cho hàm f liên tục đều trên $[0,+\infty )$ và thỏa mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }f(a+n)$ với mọi a>0. Chứng minh rằng $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)$=0.

Bài 2: Cho f là hàm khả vi trên $(0,+\infty )$ sao cho $f(0)=0$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$. Chứng minh rằng tồn tại c>0 sao cho $f'(c)=0$$f'(c)=0$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kevotinh2802: 02-01-2014 - 19:16

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Bài 1: Chỗ $\lim_{n \to \infty} f(a+n)$ là sao?

Bài 2: Thực ra là định lý Rolle đó, chứng minh tương tự như đoạn hữu hạn là được.

[kevotinh2802]

Bài 1: Chỗ $\lim_{n \to \infty} f(a+n)$ là sao?

Bài 2: Thực ra là định lý Rolle đó, chứng minh tương tự như đoạn hữu hạn là được.

Bài 1 : lim ấy bằng 0 bạn ạ. t gõ bị thiếu,