(2) Mở rộng $f$ trên $[0,\infty)$ sao cho $f$ liên tục (đặt $f(0)=\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)$). Rõ ràng với mọi $n>0,$ $f$ liên tục đều trên $[0,n]$. Đặt $L=\lim_{x\rightarrow \infty}$. Với mọi $\varepsilon >0,$ tồn tại $N$ sao cho với mọi $y>N$, $|f(y)-L|\leq \frac{1}{2}\varepsilon.$ Mà trên $[0,N+1]$ $f$ liên tục đều, nên tồn tại $\delta >0$ sao cho với mọi $x,y \in [0,N+1], |x-y| < \delta$, $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon.$
Nên lấy $\delta_0=\min(\delta, 1),$ thì với mọi $x < y \in [0,\infty)$ sao cho $|x-y|<\delta_0$, ta có nếu $y\leq N+1,$ thì $x,y \in [0,N+1]$, nên ta có $|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon,$ nếu $y>N+1,$ mà $|x-y|<1$, thì $x>N$, do đó,
$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-L+L-f(y)| \leq |f(x)-L|+|L-f(y)| \leq \varepsilon$$
Do đó, $f$ liên tục đều trên $[0,\infty),$ nên trên $(0,\infty)$
Chiều ngược lại chỉ đúng tại $0$.
Vì $f$ liên tục đều trên $(0,\infty)$, nên với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $\delta >0$, sao cho với mọi $x_n \rightarrow 0$, $|x_n-x_m| <\delta$, $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$, nên $\{f(x_n)\}$ là chuỗi Cauchy, nên hội tụ. Nên $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ hội tụ hữu hạn.