Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Bài 13 [ Romania 2005 ]

Cho $a;b;c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

 



#2
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Lại thêm 1 bài dùng pp tiếp tuyến thì có vẻ đơn giản về mặt ý tưởng :

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{1-a}}\geq \frac{5\sqrt{6}}{8}(a-\frac{1}{3})+\frac{\sqrt{6}}{6}$

Điều này chắc chắn đúng khi ta biến đổi tương đương.

Tương tự với b,c ta có dpcm



#3
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết


Bài 13 [ Romania 2005 ]

Cho $a;b;c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Dùng Cauchy-Swcharz:

   $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}$

 Mà $\sum a\sqrt{b+c}=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+bc}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\leq \sqrt{2\frac{\left ( a+b+c \right ^{2})}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

             Suy ra điều phải chứng minh


:lol:Thuận :lol:

#4
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Lại thêm 1 bài dùng pp tiếp tuyến thì có vẻ đơn giản về mặt ý tưởng :

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{1-a}}\geq \frac{5\sqrt{6}}{8}(a-\frac{1}{3})+\frac{\sqrt{6}}{6}$

Điều này chắc chắn đúng khi ta biến đổi tương đương.

Tương tự với b,c ta có dpcm

anh ơi em chưa học pp tiếp tuyến, em lớp 9 mà ^^

 

Dùng Cauchy-Swcharz:

   $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}$

 Mà $\sum a\sqrt{b+c}=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+bc}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\leq \sqrt{2\frac{\left ( a+b+c \right ^{2})}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

             Suy ra điều phải chứng minh

Thanks bạn



#5
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

anh ơi em chưa học pp tiếp tuyến, em lớp 9 mà ^^

 

Thanks bạn

E có thể dùng cân bằng hệ số .Tìm k sao cho $\frac{a}{\sqrt{1-a}}\geq k(a-\frac{1}{3})+\frac{\sqrt{6}}{6}$ luôn đúng 



#6
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

đặt P=$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$

S= $a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$

có $P^{2}S\geq (a+b+c)^{3}$

suy ra $P^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

suy ra P$\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh