Bài 13 [ Romania 2005 ]
Cho $a;b;c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Bài 13 [ Romania 2005 ]
Cho $a;b;c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Lại thêm 1 bài dùng pp tiếp tuyến thì có vẻ đơn giản về mặt ý tưởng :
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{1-a}}\geq \frac{5\sqrt{6}}{8}(a-\frac{1}{3})+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Điều này chắc chắn đúng khi ta biến đổi tương đương.
Tương tự với b,c ta có dpcm
Bài 13 [ Romania 2005 ]
Cho $a;b;c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Dùng Cauchy-Swcharz:
$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}$
Mà $\sum a\sqrt{b+c}=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+bc}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\leq \sqrt{2\frac{\left ( a+b+c \right ^{2})}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
Suy ra điều phải chứng minh
Lại thêm 1 bài dùng pp tiếp tuyến thì có vẻ đơn giản về mặt ý tưởng :
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{1-a}}\geq \frac{5\sqrt{6}}{8}(a-\frac{1}{3})+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Điều này chắc chắn đúng khi ta biến đổi tương đương.
Tương tự với b,c ta có dpcm
anh ơi em chưa học pp tiếp tuyến, em lớp 9 mà ^^
Dùng Cauchy-Swcharz:
$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}$
Mà $\sum a\sqrt{b+c}=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+bc}\leq \sqrt{2\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\leq \sqrt{2\frac{\left ( a+b+c \right ^{2})}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$
Suy ra điều phải chứng minh
Thanks bạn
anh ơi em chưa học pp tiếp tuyến, em lớp 9 mà ^^
Thanks bạn
E có thể dùng cân bằng hệ số .Tìm k sao cho $\frac{a}{\sqrt{1-a}}\geq k(a-\frac{1}{3})+\frac{\sqrt{6}}{6}$ luôn đúng
đặt P=$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$
S= $a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$
có $P^{2}S\geq (a+b+c)^{3}$
suy ra $P^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$
suy ra P$\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh