Chủ đề này có 10 trả lời

[waiwjnkti3n]

cho A là ma trận khả nghịch cấp 3, có 1 trị riêng là 2.

chứng minh rằng ma trận A^-1 có 1 trị riêng là 1/2

[YeuEm Zayta]

Tổng quát:Với trị riêng $lamda$ (khác 0) ta luôn có tính chất trên.

[KoBietDatTenSaoChoHot]

hic, bài này đơn giản mà ráng suy nghĩ chút là ra thôi bạn. Mình chứng minh cho trường hợp tổng quát nhé.

 

Giả sử $A$ là ma trân vuông khả nghịch cấp n, và có một trị riêng là $\lambda \neq 0$ thì ma trận $A^{-1}$ có một giá trị riêng là $\lambda^{-1}$

 

Nếu gọi $T$ là ánh xạ tuyến tính từ $\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^n$ với $\mathbb{F}$ là một trường số nào đó. Nếu A là ma trận biểu diễn $T$ trong một cơ sở nào đó, thì điều đó có nghĩa là $T$ khả nghịch, và $T$ có một trị riêng là $\lambda$.

 

Rõ ràng, $A^{-1}$ là ma trận biểu diễn của $T^{-1}$ trong cùng cơ sở.  Để chứng minh rằng $A^{-1}$ có trị riêng là $\lambda^{-1}$, ta chỉ cần chứng mình $T^{-1}$ có một trị riêng là $\lambda^{-1}$. 

 

Theo giả thuyết, tồn tại một vector $u\neq 0$ sao cho $T(u)=\lambda u$, suy ra $T^{-1}(T(u))=T^{-1}(\lambda u) \Rightarrow u=T^{-1}(\lambda u)$ 

Đặt $v=\lambda u$, suy ra $u=\lambda^{-1}v$, và $\lambda^{-1}v=T^{-1}(v)$. 

Điều đó chứng tỏ $\lambda^{-1}$ là một trị riêng của $T^{-1}$, hay là của $A^{-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:00

[Mrnhan]

$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$

 

$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$

[KoBietDatTenSaoChoHot]

$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$

 

$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$

 

Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:01

[Mrnhan]

Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$

 

Bạn nên nhớ: 

 

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$ 

[KoBietDatTenSaoChoHot]

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$
 
Bạn nên nhớ: 
 
$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$

À, mình quên mất cái đó

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$

 

Bạn nên nhớ: 

 

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$ 

Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.

[YeuEm Zayta]

Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.

2 chiều bạn à.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.

[YeuEm Zayta]

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.

Ít nhất 1 giá trị riêng bằng 0