Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Bài tập về trị riêng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 26-12-2013 - 08:12

cho A là ma trận khả nghịch cấp 3, có 1 trị riêng là 2.

chứng minh rằng ma trận A^-1 có 1 trị riêng là 1/2



#2 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 26-12-2013 - 10:03

Tổng quát:Với trị riêng $lamda$ (khác 0) ta luôn có tính chất trên.

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#3 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 26-12-2013 - 10:58

hic, bài này đơn giản mà ráng suy nghĩ chút là ra thôi bạn. Mình chứng minh cho trường hợp tổng quát nhé.

 

Giả sử $A$ là ma trân vuông khả nghịch cấp n, và có một trị riêng là $\lambda \neq 0$ thì ma trận $A^{-1}$ có một giá trị riêng là $\lambda^{-1}$

 

Nếu gọi $T$ là ánh xạ tuyến tính từ $\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^n$ với $\mathbb{F}$ là một trường số nào đó. Nếu A là ma trận biểu diễn $T$ trong một cơ sở nào đó, thì điều đó có nghĩa là $T$ khả nghịch, và $T$ có một trị riêng là $\lambda$.

 

Rõ ràng, $A^{-1}$ là ma trận biểu diễn của $T^{-1}$ trong cùng cơ sở.  Để chứng minh rằng $A^{-1}$ có trị riêng là $\lambda^{-1}$, ta chỉ cần chứng mình $T^{-1}$ có một trị riêng là $\lambda^{-1}$. 

 

Theo giả thuyết, tồn tại một vector $u\neq 0$ sao cho $T(u)=\lambda u$, suy ra $T^{-1}(T(u))=T^{-1}(\lambda u) \Rightarrow u=T^{-1}(\lambda u)$ 

Đặt $v=\lambda u$, suy ra $u=\lambda^{-1}v$, và $\lambda^{-1}v=T^{-1}(v)$. 

Điều đó chứng tỏ $\lambda^{-1}$ là một trị riêng của $T^{-1}$, hay là của $A^{-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:00

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#4 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 26-12-2013 - 12:07

$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$

 

$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#5 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 26-12-2013 - 14:00

$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$

 

$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$

 

Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:01

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#6 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 26-12-2013 - 14:16

Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$

 

Bạn nên nhớ: 

 

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$ 


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#7 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 26-12-2013 - 14:26

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$
 
Bạn nên nhớ: 
 
$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$


À, mình quên mất cái đó :)
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#8 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 26-12-2013 - 16:00

$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$

 

Bạn nên nhớ: 

 

$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$ 

Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#9 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 26-12-2013 - 20:45

Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.

2 chiều bạn à.


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#10 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 27-12-2013 - 05:25

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#11 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 27-12-2013 - 22:19

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.


Ít nhất 1 giá trị riêng bằng 0 :))

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh