cho A là ma trận khả nghịch cấp 3, có 1 trị riêng là 2.
chứng minh rằng ma trận A^-1 có 1 trị riêng là 1/2
cho A là ma trận khả nghịch cấp 3, có 1 trị riêng là 2.
chứng minh rằng ma trận A^-1 có 1 trị riêng là 1/2
OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like
hic, bài này đơn giản mà ráng suy nghĩ chút là ra thôi bạn. Mình chứng minh cho trường hợp tổng quát nhé.
Giả sử $A$ là ma trân vuông khả nghịch cấp n, và có một trị riêng là $\lambda \neq 0$ thì ma trận $A^{-1}$ có một giá trị riêng là $\lambda^{-1}$
Nếu gọi $T$ là ánh xạ tuyến tính từ $\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^n$ với $\mathbb{F}$ là một trường số nào đó. Nếu A là ma trận biểu diễn $T$ trong một cơ sở nào đó, thì điều đó có nghĩa là $T$ khả nghịch, và $T$ có một trị riêng là $\lambda$.
Rõ ràng, $A^{-1}$ là ma trận biểu diễn của $T^{-1}$ trong cùng cơ sở. Để chứng minh rằng $A^{-1}$ có trị riêng là $\lambda^{-1}$, ta chỉ cần chứng mình $T^{-1}$ có một trị riêng là $\lambda^{-1}$.
Theo giả thuyết, tồn tại một vector $u\neq 0$ sao cho $T(u)=\lambda u$, suy ra $T^{-1}(T(u))=T^{-1}(\lambda u) \Rightarrow u=T^{-1}(\lambda u)$
Đặt $v=\lambda u$, suy ra $u=\lambda^{-1}v$, và $\lambda^{-1}v=T^{-1}(v)$.
Điều đó chứng tỏ $\lambda^{-1}$ là một trị riêng của $T^{-1}$, hay là của $A^{-1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:00
$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$
$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
$$0=\det\left ( A-\lambda I_n \right )=\det\left ( -\lambda A \right )\det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda}I_n \right )$$
$$\Leftrightarrow \det\left ( A^{-1}-\frac{1}{\lambda} I_n \right )=0$$
Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 26-12-2013 - 14:01
Cách giải này hay gọn thiệt, mà có một chỗ mình thắc mắc. Để có được dòng cuối cùng thì bắt buộc $detA \neq 0$, mà điều này thì ko phải lúc nào cũng đúng!
$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$
Bạn nên nhớ:
$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$
Bạn nên nhớ:
$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$
$A$ là ma trận khả nghịch mà bạn, nếu $\det A=0$ $\Leftrightarrow \lambda =0$
Bạn nên nhớ:
$$\det A=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i ,\: tr\left ( A \right )=\sum \lambda_i$$
Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
Tương đương 2 chiều luôn hả a? Hình như chỉ có một chiều.
2 chiều bạn à.
OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like
Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.
OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh