Chủ đề này có 1 trả lời

[HG98]

    (VuBaSang) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=12$ Cmr:

         

            $H =\frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3} + \frac{b^2(b^2+ac)}{(a+c)^3} + \frac{c^2(c^2+ab)}{(a+b)^3} \geq 3$

                   

[25 minutes]

    (VuBaSang) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=12$ Cmr:

         

            $H =\frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3} + \frac{b^2(b^2+ac)}{(a+c)^3} + \frac{c^2(c^2+ab)}{(a+b)^3} \geq 3$

Ta luôn có 

     $\frac{a^2}{(b+c)^2}(\frac{a^2+bc}{b+c}-a)=\frac{a^2(a-b)(a-c)}{(b+c)^3}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{(b+c)^2}(\frac{a^2+bc}{b+c}-a)=\sum \frac{a^2(a-b)(a-c)}{(b+c)^3}\geqslant 0$

$\Rightarrow H=\sum \frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3}\geqslant \frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(a+c)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(a+c)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geqslant 3$

Đến đây có nhiều hướng giải quyết nhưng ta nên sử dụng AM-GM

        $\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại ta được 

        $\sum \frac{a^3}{(b+c)^2}\geqslant \frac{a+b+c}{4}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$