(VuBaSang) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=12$ Cmr:
$H =\frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3} + \frac{b^2(b^2+ac)}{(a+c)^3} + \frac{c^2(c^2+ab)}{(a+b)^3} \geq 3$
(VuBaSang) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=12$ Cmr:
$H =\frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3} + \frac{b^2(b^2+ac)}{(a+c)^3} + \frac{c^2(c^2+ab)}{(a+b)^3} \geq 3$
CEO
(VuBaSang) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=12$ Cmr:
$H =\frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3} + \frac{b^2(b^2+ac)}{(a+c)^3} + \frac{c^2(c^2+ab)}{(a+b)^3} \geq 3$
Ta luôn có
$\frac{a^2}{(b+c)^2}(\frac{a^2+bc}{b+c}-a)=\frac{a^2(a-b)(a-c)}{(b+c)^3}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{(b+c)^2}(\frac{a^2+bc}{b+c}-a)=\sum \frac{a^2(a-b)(a-c)}{(b+c)^3}\geqslant 0$
$\Rightarrow H=\sum \frac{a^2(a^2+bc)}{(b+c)^3}\geqslant \frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(a+c)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b^3}{(a+c)^2}+\frac{c^3}{(a+b)^2}\geqslant 3$
Đến đây có nhiều hướng giải quyết nhưng ta nên sử dụng AM-GM
$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại ta được
$\sum \frac{a^3}{(b+c)^2}\geqslant \frac{a+b+c}{4}=3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh