Tính $ ( e - x )^{-1} $
#1
Đã gửi 27-12-2013 - 21:11
#2
Đã gửi 28-12-2013 - 00:59
Thay $e=1$ cho dễ nhìn.
$$1=1-x^7=(1-x)(1+x+x^2+\dots+x^6) \Rightarrow (1-x)^{-1}=1+x+x^2+\dots+x^6$$
- nguyenxuanthai yêu thích
#3
Đã gửi 28-12-2013 - 08:33
Anh ơi, thế còn chứng minh $ ( e - x ) $ khả nghịch thì có phải là do $A$ là vành và có đơn vị là $e$ không ạ?
Khi đó $ ( e-x ) . y =e \Rightarrow y =\dfrac{e}{e-x} $ với $ y$ là phần tử nghich đảo của $ (e -x) \Rightarrow (e-x)^{-1} = y = \dfrac{e}{e-x}$ có phải không ạ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 28-12-2013 - 08:34
#4
Đã gửi 28-12-2013 - 08:57
Có phải A là vành thì đợn vị $ e =1 $ không ạ ?
Anh ơi, cho em hỏi : $ 0 $ ở đây có phải là phần tử trung hòa không ạ ?
và $ x^7 $ ở đây, có phải là $ x^7 = x.x.x.x.x.x.x $ không ạ?
và phép . ở đây có phải là phép nhân thông thường trong $ R $ không ạ ?
#5
Đã gửi 28-12-2013 - 09:05
Anh ơi, thế còn chứng minh $ ( e - x ) $ khả nghịch thì có phải là do $A$ là vành và có đơn vị là $e$ không ạ?
Khi đó $ ( e-x ) . y =e \Rightarrow y =\dfrac{e}{e-x} $ với $ y$ là phần tử nghich đảo của $ (e -x) \Rightarrow (e-x)^{-1} = y = \dfrac{e}{e-x}$ có phải không ạ ?
Chứng minh $e-x$ khả nghịch, tức là chứng minh tồn tại phần tử $y$ nào đó sao cho $xy=e$, nói cách khác, phần tử $(e-x)^{-1}$ tồn tại (trong vành $A$ - vành $A$ giao hoán). Trong phép tính trên của mình, mình đã chỉ ra phần tử nghịch đảo của $(e-x)$ chính là
$$e+x+x^2+\dots+x^6$$
Vì $A$ là vành nên phần tử trên tồn tại trong vành $A$
Có phải A là vành thì đợn vị $ e =1 $ không ạ ?
Anh ơi, cho em hỏi : $ 0 $ ở đây có phải là phần tử trung hòa không ạ ?
và $ x^7 $ ở đây, có phải là $ x^7 = x.x.x.x.x.x.x $ không ạ?
và phép . ở đây có phải là phép nhân thông thường trong $ R $ không ạ ?
$e$ hay $1$ chỉ là kí hiệu thôi. $0$ là phần tử trung hòa cho phép tính $+$, và 1 là phần tử trung hòa cho phép tính $.$ $x^7=x.x.\dots.x$. Phép nhân là phép nhân được xác định trong vành $A$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 28-12-2013 - 09:05
- nguyenxuanthai yêu thích
#6
Đã gửi 28-12-2013 - 09:32
Thế $ 1 -x^7 = ( 1-x )( 1+x+x^2+.. + x^6) $, đều là kí hiệu hết ạ ?
Nếu không thay $ e =1 $ thì có phải là thế này không ạ?
$ e = e- x^7 = \left( \sqrt[7] {e} \right)^7 - x^7 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 28-12-2013 - 09:32
#7
Đã gửi 28-12-2013 - 14:03
Thế $ 1 -x^7 = ( 1-x )( 1+x+x^2+.. + x^6) $, đều là kí hiệu hết ạ ?
Nếu không thay $ e =1 $ thì có phải là thế này không ạ?
$ e = e- x^7 = \left( \sqrt[7] {e} \right)^7 - x^7 $
Nếu kí hiệu phần tử trung hòa của phép nhân $.$ là $e$ thay vì là $1$, thì ta cũng có
$$(e-x)(e+x+x^2+\dots+x^6)=e-x^7$$
Thực hiện phép tính tương tự như đại số thông thường. Nếu nghĩ kĩ, thì khi khai triển vế trái, ta chỉ dùng những tính chất có sẵn trong vành $A$ (như $e.x=x$, tính phân phối giữa phép cộng và phép nhân,..).
#8
Đã gửi 28-12-2013 - 14:27
Thực sự là em vẫn chưa hiểu cái chỗ $ x^7 = 0$ lắm, em đọc đề em nghĩ cái đó là : " có 7 phần tử $ x \in X $ và với phép toán . thì nó ra phần tử trung hòa ".
Em hiểu thế có đúng không ạ ? Mong anh nói rõ chỗ đó hơn cho em ạ..
#9
Đã gửi 29-12-2013 - 07:35
Bạn hiểu chính xác, phần tử $x$ khi được nhân $7$ lần, sẽ ra phần từ trung hòa $0$ (của phép tính cộng).
$$x.x.x.x.x.x.x=0$$
Tất nhiên, điều này không bắt buộc là $x=0$.
#10
Đã gửi 29-12-2013 - 13:47
Thế cho nên, em nghĩ chỗ này cứ sao sao ấy ạ : $ e = e - 0 = e- x^7 $
Nhưng chắc gì phần tử trung hòa đã bằng $ 0 $ ạ? và phép toán trong vành $ A $ thì chưa chắc đã là các phép toán trong tập $ R $ ạ?
$ e = e - 0 = e- x^7 = (e-x)(e+x+ x^2 + ... + x^6 ) $ . Anh giải thích cho em với ạ ?
( Em đã sử dung $ e.x = x $ và $ e - x^7 = (e-x)(e+x+ x^2 + ... + x^6 ) $ là đúng ạ )
#11
Đã gửi 30-12-2013 - 03:02
Theo định nghĩa, vành $A$ (giao hoán) là nhóm $A$ (với phép cộng giao hoán, phần tử trung hòa $0$), và kết hợp thêm với phép nhân (phần tử trung hòa $1$) có tính chất kết hợp (giao hoán) và, phù hợp với tính chất phân phối với phép cộng.)
Phép cộng (hay trừ) trong vành $A$ mà mình nói trong những bài trên là phép tính có sẵn trong định nghĩa của $A$, và có phần tử trung hòa là $0$.
Những phép toán trong $A$ chưa chắc là phép tính trong $R$ nhưng khi thực hiện những khai triển trên, thì ta chỉ dùng tính chỉ dùng tính chất của $A$ mà thôi.
Nếu bạn có thể liệt kê lại định nghĩa của vành $A$, mình có thể viết ra từng dòng phép tính để cho thấy phép tính của chúng ta thực hiện được trong vành $A$.
- nguyenxuanthai yêu thích
#12
Đã gửi 30-12-2013 - 07:40
Em hiểu thế này có đúng không ạ ?
$ e - x^7 = e - 0 = e + ( -0 ) = e + 0 = e $ và $ e - x^7 = ( e-x)(e+x+x^2+...+x^6) \Rightarrow (e-x)^{-1} = e+x+x^2+... + x^6 $
Cái đoạn $ ( -0 ) =0 $ em giải thích thế này:
Vì $ (-0) $ là phần tử đối xúng của $ 0$ nên : $ (-0)+0=0+(-0)=0$ (do $x.x'=e $) và
ta lại có $ (-0)+0=0+(-0)=(-0) $ ( do $ x . e =e.x=x $ )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 30-12-2013 - 07:42
#13
Đã gửi 30-12-2013 - 11:14
#14
Đã gửi 01-01-2014 - 01:16
Anh ơi, hình như đoạn $ e - x^7 = e - 0 = e + ( -0) = e + 0 =e$ không ổn thì phải anh nhỉ?
Anh viết lại rõ cho em cái chứng minh : $ e = e - x^7 $ với ạ ?
#15
Đã gửi 01-01-2014 - 03:44
Đầu tiên ta nên hiểu $e-x^7=e+(-x^7)=e+(-0)$ với $-0$ là phần tử "đối" của $0$ với phép cộng trong vành $A$. Ta thấy $0+0=0$, cho nên phần tử đối của $0$ trong phép cộng phải là $0$, cho nên $-0=0$. Do đó, $e-x^7=e+(-0)=e+0=e$. $e$ là phần tử trung hòa của phép nhân, bất kì phần tử nào khi cộng với $0$ đều bằng chính nó, kể cả $e$.
- nguyenxuanthai yêu thích
#16
Đã gửi 01-01-2014 - 21:13
Và 0.x=x.0=0 không ạ? Và chứng minh như thế nào ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 01-01-2014 - 21:39
#17
Đã gửi 02-01-2014 - 11:49
Ta chứng minh $x.0=0$ trước. Dễ thấy
$$x.0=x.(0+0)=x.0+x.0 \Rightarrow 0=x.0$$
Sau đó, ta có
$$x.x+x.(-x)=x.(x+(-x))=x.0=0 \Rightarrow -(x.x)=x.(-x)$$
- nguyenxuanthai yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh