Chủ đề này có 16 trả lời

[nguyenxuanthai]

Cho $A$ là vành có đợn vị là $e$ và $ x \in A $. Biết $ x^7 = 0 $ Chứng minh rằng $ ( e - x ) $ khả nghịch, và tính $ ( e - x )^{-1} $

[fghost]

Thay $e=1$ cho dễ nhìn.

 

$$1=1-x^7=(1-x)(1+x+x^2+\dots+x^6) \Rightarrow (1-x)^{-1}=1+x+x^2+\dots+x^6$$

[nguyenxuanthai]

Anh ơi, thế còn chứng minh $ ( e - x ) $ khả nghịch thì có phải là do $A$ là vành và có đơn vị là $e$ không ạ?

 

Khi đó $ ( e-x ) . y =e \Rightarrow y =\dfrac{e}{e-x} $ với $ y$ là phần tử nghich đảo của $ (e -x) \Rightarrow (e-x)^{-1} = y = \dfrac{e}{e-x}$ có phải không ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 28-12-2013 - 08:34

[nguyenxuanthai]

Có phải A là vành thì đợn vị  $ e =1 $  không ạ ?
Anh ơi, cho em hỏi : $ 0 $ ở đây có phải là phần tử trung hòa không ạ ?
và $ x^7 $ ở đây, có phải là  $ x^7 = x.x.x.x.x.x.x $  không ạ?
và phép . ở đây có phải là phép nhân thông thường trong $ R $ không ạ ?

 

[fghost]

Anh ơi, thế còn chứng minh $ ( e - x ) $ khả nghịch thì có phải là do $A$ là vành và có đơn vị là $e$ không ạ?

 

Khi đó $ ( e-x ) . y =e \Rightarrow y =\dfrac{e}{e-x} $ với $ y$ là phần tử nghich đảo của $ (e -x) \Rightarrow (e-x)^{-1} = y = \dfrac{e}{e-x}$ có phải không ạ ?

 

Chứng minh $e-x$ khả nghịch, tức là chứng minh tồn tại phần tử $y$ nào đó sao cho $xy=e$, nói cách khác, phần tử $(e-x)^{-1}$ tồn tại (trong vành $A$ - vành $A$ giao hoán). Trong phép tính trên của mình, mình đã chỉ ra phần tử nghịch đảo của $(e-x)$ chính là

$$e+x+x^2+\dots+x^6$$

Vì $A$ là vành nên phần tử trên tồn tại trong vành $A$

Có phải A là vành thì đợn vị  $ e =1 $  không ạ ?
Anh ơi, cho em hỏi : $ 0 $ ở đây có phải là phần tử trung hòa không ạ ?
và $ x^7 $ ở đây, có phải là  $ x^7 = x.x.x.x.x.x.x $  không ạ?
và phép . ở đây có phải là phép nhân thông thường trong $ R $ không ạ ?

$e$ hay $1$ chỉ là kí hiệu thôi. $0$ là phần tử trung hòa cho phép tính $+$, và 1 là phần tử trung hòa cho phép tính $.$ $x^7=x.x.\dots.x$. Phép nhân là phép nhân được xác định trong vành $A$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 28-12-2013 - 09:05

[nguyenxuanthai]

Thế $ 1 -x^7 = ( 1-x )( 1+x+x^2+.. + x^6) $, đều là kí hiệu hết ạ ?

 

Nếu không thay $ e =1 $ thì có phải là thế này không ạ?

 

$ e = e- x^7 =  \left( \sqrt[7] {e} \right)^7 - x^7 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 28-12-2013 - 09:32

[fghost]

Thế $ 1 -x^7 = ( 1-x )( 1+x+x^2+.. + x^6) $, đều là kí hiệu hết ạ ?

 

Nếu không thay $ e =1 $ thì có phải là thế này không ạ?

 

$ e = e- x^7 =  \left( \sqrt[7] {e} \right)^7 - x^7 $

 

Nếu kí hiệu phần tử trung hòa của phép nhân $.$ là $e$ thay vì là $1$, thì ta cũng có

$$(e-x)(e+x+x^2+\dots+x^6)=e-x^7$$

Thực hiện phép tính tương tự như đại số thông thường. Nếu nghĩ kĩ, thì khi khai triển vế trái, ta chỉ dùng những tính chất có sẵn trong vành $A$ (như $e.x=x$, tính phân phối giữa phép cộng và phép nhân,..).

[nguyenxuanthai]

Thực sự là em vẫn chưa hiểu cái chỗ $ x^7 = 0$ lắm, em đọc đề em nghĩ cái đó là : " có 7 phần tử $ x \in X $ và với phép toán . thì nó ra phần tử trung hòa ".

Em hiểu thế có đúng không ạ ? Mong anh nói rõ chỗ đó hơn cho em ạ..

[fghost]

Bạn hiểu chính xác, phần tử $x$ khi được nhân $7$ lần, sẽ ra phần từ trung hòa $0$ (của phép tính cộng).

$$x.x.x.x.x.x.x=0$$

Tất nhiên, điều này không bắt buộc là $x=0$.

[nguyenxuanthai]

Thế cho nên, em nghĩ chỗ này cứ sao sao ấy ạ : $ e = e - 0 = e- x^7 $

 

Nhưng chắc gì phần tử trung hòa đã bằng $ 0 $ ạ? và phép toán trong vành $ A $ thì chưa chắc đã là các phép toán trong tập $ R $ ạ?

 

$ e = e - 0 = e- x^7 = (e-x)(e+x+ x^2 + ... + x^6 ) $ . Anh giải thích cho em với ạ ?

 

(  Em đã sử dung $ e.x = x $ và $ e - x^7 = (e-x)(e+x+ x^2 + ... + x^6 ) $ là đúng ạ )

[fghost]

Theo định nghĩa, vành $A$ (giao hoán) là nhóm $A$ (với phép cộng giao hoán, phần tử trung hòa $0$), và kết hợp thêm với phép nhân (phần tử trung hòa $1$) có tính chất kết hợp (giao hoán) và, phù hợp với tính chất phân phối với phép cộng.)

 

Phép cộng (hay trừ) trong vành $A$ mà mình nói trong những bài trên là phép tính có sẵn trong định nghĩa của $A$, và có phần tử trung hòa là $0$.

 

Những phép toán trong $A$ chưa chắc là phép tính trong $R$ nhưng khi thực hiện những khai triển trên, thì ta chỉ dùng tính chỉ dùng tính chất của $A$ mà thôi.

 

Nếu bạn có thể liệt kê lại định nghĩa của vành $A$, mình có thể viết ra từng dòng phép tính để cho thấy phép tính của chúng ta thực hiện được trong vành $A$.

[nguyenxuanthai]

Em hiểu thế này có đúng không ạ ?

 

$ e - x^7 = e - 0 = e + ( -0 ) = e + 0 = e $ và $ e - x^7 = ( e-x)(e+x+x^2+...+x^6) \Rightarrow (e-x)^{-1} = e+x+x^2+... + x^6 $

 

Cái đoạn $ ( -0 ) =0 $ em giải thích thế này:

 

Vì $ (-0) $ là phần tử đối xúng của $ 0$ nên : $ (-0)+0=0+(-0)=0$ (do $x.x'=e $) và

 

ta lại có $ (-0)+0=0+(-0)=(-0) $ ( do $ x . e =e.x=x $ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 30-12-2013 - 07:42

[fghost]

Chứng minh của bạn đúng rồi.

[nguyenxuanthai]

Anh ơi, hình như đoạn $ e - x^7 = e - 0 = e + ( -0) = e + 0 =e$ không ổn thì phải anh nhỉ?

 

Anh viết lại rõ cho em cái chứng minh : $ e = e - x^7 $ với ạ ?

[fghost]

Đầu tiên ta nên hiểu $e-x^7=e+(-x^7)=e+(-0)$ với $-0$ là phần tử "đối" của $0$ với phép cộng trong vành $A$. Ta thấy $0+0=0$, cho nên phần tử đối của $0$ trong phép cộng phải là $0$, cho nên $-0=0$. Do đó, $e-x^7=e+(-0)=e+0=e$. $e$ là phần tử trung hòa của phép nhân, bất kì phần tử nào khi cộng với $0$ đều bằng chính nó, kể cả $e$.

[nguyenxuanthai]

Anh ơi, cho em hỏi là x.(-x)=-(x.x) có đúng không ạ? Em không biết chứng minh thế nào cả anh ạ. Anh chỉ giúp em với.
Và 0.x=x.0=0 không ạ? Và chứng minh như thế nào ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 01-01-2014 - 21:39

[fghost]

Ta chứng minh $x.0=0$ trước. Dễ thấy

$$x.0=x.(0+0)=x.0+x.0 \Rightarrow 0=x.0$$

 

Sau đó, ta có

$$x.x+x.(-x)=x.(x+(-x))=x.0=0 \Rightarrow -(x.x)=x.(-x)$$