Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$
$\sum a^{3}=(\sum a)^{3}-3(\sum a)(\sum ab)+3abc=8-6\sum ab+3abc$
$\Rightarrow 4(\sum a^{3})+15abc=32-24\sum ab+27abc=32+3[9abc-8\sum ab]$ (1)
Dễ dàng CM đc: $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=(2-2a)(2-2b)(2-2c)=8(1-a)(1-b)(1-c)=8(1-a-b+ab)(1-c)=8-8\sum a+8\sum ab-8abc$ (Do tam giác chu vi 2)
$\Rightarrow 9abc\geq 8\sum ab+8-16=8\sum ab-8$
$\Rightarrow 9abc-8\sum ab\geq -8$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4(\sum a^{3})+15abc\geq 32+3.(-8)=8$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{2}{3}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$
Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$
Gợi ý này to quá nhỉ . Cứ post giải đi!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-12-2013 - 10:09
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$
Có thể chứng minh kiểu như sau
$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geqslant (a+b+c)^3$
$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+9abc \geqslant 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Và trên là bất đẳng thức Schur bậc $3$ quyen thuộc
Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$
Cũng cần sử dụng Schur bậc $3$ là ra hết mà
Chứng minh $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{2}{9}(a+b+c)^3$
$\Leftrightarrow 7(a^3+b^3+c^3)+15abc\geqslant 6\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right ]$
Áp dụng Schur và AM-GM ta có
$\left\{\begin{matrix} 5(a^3+b^3+c^3)+15abc\geqslant 5\sum ab(a+b)\\2(a^3+b^3+c^3)\geqslant \sum ab(a+b) \end{matrix}\right.$
Do đó ta có đpcm
Vừa nghĩ ra cách khác nè :
Ta dùng đồng bậc hóa bất đẳng thức :
Tức là dự đoán được Min $P=8$ thì ta sẽ đi chứng minh
$$4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geq (a+b+c)^3$$
Chậm r chứng minh BĐT này anh TOc NGan đã chứng minh trên !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 28-12-2013 - 10:19
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$
Gợi ý này to quá nhỉ . Cứ post giải đi!
có (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc \Rightarrow (1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq abc \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+1$
$abc+1\leq \frac {a+b+c}{3})^{3} +1 =\frac{28}{27} \Rightarrow P\geq 1-3.\frac{28}{4.27}=\frac{2}{9} dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh