Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 28-12-2013 - 09:50

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 28-12-2013 - 09:59

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$

$\sum a^{3}=(\sum a)^{3}-3(\sum a)(\sum ab)+3abc=8-6\sum ab+3abc$

$\Rightarrow 4(\sum a^{3})+15abc=32-24\sum ab+27abc=32+3[9abc-8\sum ab]$ (1)

Dễ dàng CM đc: $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=(2-2a)(2-2b)(2-2c)=8(1-a)(1-b)(1-c)=8(1-a-b+ab)(1-c)=8-8\sum a+8\sum ab-8abc$ (Do tam giác chu vi 2)
$\Rightarrow 9abc\geq 8\sum ab+8-16=8\sum ab-8$

$\Rightarrow 9abc-8\sum ab\geq -8$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4(\sum a^{3})+15abc\geq 32+3.(-8)=8$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{2}{3}$



#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 28-12-2013 - 10:01

Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$

Gợi ý này to quá nhỉ :D . Cứ post giải đi!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-12-2013 - 10:09


#4 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 28-12-2013 - 10:15

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$

Có thể chứng minh kiểu như sau 

             $P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geqslant (a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+9abc \geqslant 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Và trên là bất đẳng thức Schur bậc $3$ quyen thuộc

 

Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$

Cũng cần sử dụng Schur bậc $3$ là ra hết mà 

Chứng minh $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{2}{9}(a+b+c)^3$

       $\Leftrightarrow 7(a^3+b^3+c^3)+15abc\geqslant 6\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right ]$

Áp dụng Schur và AM-GM ta có 

       $\left\{\begin{matrix} 5(a^3+b^3+c^3)+15abc\geqslant 5\sum ab(a+b)\\2(a^3+b^3+c^3)\geqslant \sum ab(a+b) \end{matrix}\right.$

Do đó ta có đpcm


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 28-12-2013 - 10:15

Vừa nghĩ ra cách khác nè : 

Ta dùng đồng bậc hóa bất đẳng thức : 

Tức là dự đoán được Min $P=8$ thì ta sẽ đi chứng minh 

 

$$4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geq (a+b+c)^3$$

 

Chậm r chứng minh BĐT này anh TOc NGan đã chứng minh trên !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 28-12-2013 - 10:19

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#6 HienNgoc0216

HienNgoc0216

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 02-11-2016 - 18:44

Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$

Gợi ý này to quá nhỉ :D . Cứ post giải đi!

có (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc \Rightarrow (1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq abc \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+1$
$abc+1\leq \frac {a+b+c}{3})^{3} +1 =\frac{28}{27} \Rightarrow P\geq 1-3.\frac{28}{4.27}=\frac{2}{9} dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh