Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 

$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$

$\sum a^{3}=(\sum a)^{3}-3(\sum a)(\sum ab)+3abc=8-6\sum ab+3abc$

$\Rightarrow 4(\sum a^{3})+15abc=32-24\sum ab+27abc=32+3[9abc-8\sum ab]$ (1)

Dễ dàng CM đc: $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=(2-2a)(2-2b)(2-2c)=8(1-a)(1-b)(1-c)=8(1-a-b+ab)(1-c)=8-8\sum a+8\sum ab-8abc$ (Do tam giác chu vi 2)
$\Rightarrow 9abc\geq 8\sum ab+8-16=8\sum ab-8$

$\Rightarrow 9abc-8\sum ab\geq -8$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4(\sum a^{3})+15abc\geq 32+3.(-8)=8$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{2}{3}$



#3
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$

Gợi ý này to quá nhỉ :D . Cứ post giải đi!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-12-2013 - 10:09


#4
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$$

Có thể chứng minh kiểu như sau 

             $P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geqslant (a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+9abc \geqslant 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Và trên là bất đẳng thức Schur bậc $3$ quyen thuộc

 

Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$

Cũng cần sử dụng Schur bậc $3$ là ra hết mà 

Chứng minh $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{2}{9}(a+b+c)^3$

       $\Leftrightarrow 7(a^3+b^3+c^3)+15abc\geqslant 6\left [ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right ]$

Áp dụng Schur và AM-GM ta có 

       $\left\{\begin{matrix} 5(a^3+b^3+c^3)+15abc\geqslant 5\sum ab(a+b)\\2(a^3+b^3+c^3)\geqslant \sum ab(a+b) \end{matrix}\right.$

Do đó ta có đpcm


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Vừa nghĩ ra cách khác nè : 

Ta dùng đồng bậc hóa bất đẳng thức : 

Tức là dự đoán được Min $P=8$ thì ta sẽ đi chứng minh 

 

$$4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geq (a+b+c)^3$$

 

Chậm r chứng minh BĐT này anh TOc NGan đã chứng minh trên !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 28-12-2013 - 10:19

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#6
HienNgoc0216

HienNgoc0216

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Một bài tương tự, bài này giải hay hơn:
Cho tam giác có chu vi bằng 1. Tìm Min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Gợi ý: $0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq (\frac{1}{3})^{3}$

Gợi ý này to quá nhỉ :D . Cứ post giải đi!

có (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc \Rightarrow (1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq abc \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+1$
$abc+1\leq \frac {a+b+c}{3})^{3} +1 =\frac{28}{27} \Rightarrow P\geq 1-3.\frac{28}{4.27}=\frac{2}{9} dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh