Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

CMR: Hệ $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ ĐLTT


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 28-12-2013 - 10:13

Giả sử C[a,b] là tập các hàm số liên tục trên [a,b], biết rằng C[a,b] là 1 không gian vecto

chứng minh hệ số hàm số $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ độc lập tuyến tính trong C[a,b]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-01-2014 - 12:18


#2 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 28-12-2013 - 12:53

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$



#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2013 - 19:48

Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$

Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao. 



#4 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 28-12-2013 - 20:45

Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao. 

nxb cho tớ cách khác với



#5 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 28-12-2013 - 20:49

À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$

$\iff \frac{\alpha}{e^x}  + \beta +\gamma e^{x}=0$

lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$



#6 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 29-12-2013 - 08:14

À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$

$\iff \frac{\alpha}{e^x}  + \beta +\gamma e^{x}=0$

lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$

có vẻ k thuyết phục bạn ạ

làm sao kết luận đc k có nghiệm như vậy chứ?



#7 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 29-12-2013 - 09:36

Hz, mình đag kiếm cách ngắn hơn cách sử dụng định thức
Nếu sử dụng định thức:

Thực hiện đạo hàm 2 vế 2 lần, ta được:

$Tv=\begin{bmatrix}e^x &e^{2x}  &e^{3x} \\ e^x &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ e^x &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}=0$
Xét $\det=\begin{vmatrix}e^x &e^{2x}  &e^{3x} \\ e^x &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ e^x &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^x\begin{vmatrix}1 &e^{2x}  &e^{3x} \\ 1 &2e^{2x}  &3e^{3x} \\ 1 &4e^{2x}  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^{3x}\begin{vmatrix}1 &1  &e^{3x} \\ 1 &2  &3e^{3x} \\ 1 &4  & 9e^{3x}\end{vmatrix}$
$=e^{6x}\begin{vmatrix}1 &1  &1 \\ 1 & 2 &3 \\ 1 & 4 &9 \end{vmatrix}=2e^{6x}>0$
Suy ra T khả nghịch, vậy Tv=0 $\iff v=0 \iff \alpha=\beta=\gamma =0$ 

 

 



#8 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 29-12-2013 - 13:48

Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:

 

Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$

vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.

Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.

 

Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.


Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#9 waiwjnkti3n

waiwjnkti3n

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 29-12-2013 - 14:46

Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:

 

Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$

vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.

Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.

 

Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.

cách này hay và dễ hiểu hơn

xem hộ t bài ma trận nghịch đảo với


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi waiwjnkti3n: 29-12-2013 - 14:50


#10 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 29-12-2013 - 14:49

cách này hay và dễ hiểu hơn

Nhưng cách của funcalys là tổng quát và có thể dùng cho nhiều loại hàm số khác nhau. Tham khảo thêm nè http://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian


  • Nxb yêu thích
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh