Giả sử C[a,b] là tập các hàm số liên tục trên [a,b], biết rằng C[a,b] là 1 không gian vecto
chứng minh hệ số hàm số $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ độc lập tuyến tính trong C[a,b]
Edited by vo van duc, 02-01-2014 - 12:18.
Giả sử C[a,b] là tập các hàm số liên tục trên [a,b], biết rằng C[a,b] là 1 không gian vecto
chứng minh hệ số hàm số $S=\left \{ e^{x}, e^{2x}, e^{3x} \right \}$ độc lập tuyến tính trong C[a,b]
Edited by vo van duc, 02-01-2014 - 12:18.
Để ý rằng $e^x$ luôn dương với $x\in \mathbb{R}$
Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao.
Bài toán trên khá dễ, nhưng theo mình ý này có vẻ chưa giải quyết được vấn đề. Thế ví dụ hàm -e^x thì sao.
nxb cho tớ cách khác với
À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$
$\iff \frac{\alpha}{e^x} + \beta +\gamma e^{x}=0$
lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$
À, xin lỗi bạn, mình bất cẩn quá
Giả sử tồn tại $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ sao cho $\alpha e^x + \beta e^{2x} +\gamma e^{3x}=0$$\iff \frac{\alpha}{e^x} + \beta +\gamma e^{x}=0$
lúc này có thể thấy phương trình không có nghiệm với $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$
có vẻ k thuyết phục bạn ạ
làm sao kết luận đc k có nghiệm như vậy chứ?
Hz, mình đag kiếm cách ngắn hơn cách sử dụng định thức
Nếu sử dụng định thức:
Thực hiện đạo hàm 2 vế 2 lần, ta được:
Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:
Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$
vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.
Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.
Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.
Nếu mà ko muốn dùng determinant thì làm như thế này:
Giả sử $ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0$ (1) $ \Rightarrow e^x(a+be^x+ce^{2x})=0$
vì $e^x \neq 0$, nên ta có $a+be^x+ce^{2x}=0$. Đạo hàm hai vế ta được: $be^x+2ce^{2x}=0$. Do đó $e^x(b+2ce^{2x})=0$.
Lại do $e^x \neq 0$ nên ta có $b+2ce^{2x}=0$. Tiếp tục đạo hàm ta được $4ce^{2x}=0 \Rightarrow c=0$.
Do đó (1) trở thành $ae^x+be^{2x}=0$. Lập lại quá trình như trên ta có a=b=c=0. Suy ra, họ trên độc lập tuyến tính.
cách này hay và dễ hiểu hơn
xem hộ t bài ma trận nghịch đảo với
Edited by waiwjnkti3n, 29-12-2013 - 14:50.
cách này hay và dễ hiểu hơn
Nhưng cách của funcalys là tổng quát và có thể dùng cho nhiều loại hàm số khác nhau. Tham khảo thêm nè http://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian
0 members, 1 guests, 0 anonymous users