Đến nội dung

Hình ảnh

Trên một đường tròn viết 2012 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng liên trước và sau nó. Chứng minh rằng 2012 số bằng nhau


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
yeutoanhoc01

yeutoanhoc01

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Trên một đường tròn viết 2012 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng liền trước và sau nó. Chứng minh rằng 2012 số bằng nhau

 

 



#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Trên một đường tròn viết 2012 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng liền trước và sau nó. Chứng minh rằng 2012 số bằng nhau

Lời giải. Kí hiệu các số theo thứ tự là $a_1,a_2,a_3, \cdots, a_{2012}$. Coi cac số là các điểm. Các số cũng sắp xếp trên đường tròn theo thứ tự đó (ví dụ $a_2$ nằm giữa $a_1,a_3$, $a_{2012}$ nằm giữa $a_1,a_{2011}$) và cách đều nhau sao cho một điểm bất kì trong đường tròn nối với tâm đường tròn đó thì luôn đi qua một điểm khác trong $2012$ điểm đó.

Ta có $2a_1= a_{2012}+a_2= \frac{a_1+a_{2011}}{2}+ \frac{a_1+a_3}{2}=a_1+ \frac{a_{2011}+a_3}{2} \Rightarrow a_1= \frac{a_{2011}+a_3}{2}$.

Chứng minh tương tự và ta được $$a_1= \frac{a_{2012}+a_2}{2}= \frac{a_{2011}+a_3}{2}= \frac{a_{2010}+a_4}{2}= \cdots = \frac{a_{1008}+a_{1006}}{2}=a_{1007} \qquad (1)$$

Cứ tiếp tục thực hiện tính toán trên với các số khác, ta có nhận xét sau:

Nhận xét. Đường thẳng $d$ nối từ điểm $a_m$ đến tâm sẽ là trục đối xứng tổng các giá trị, tức với hai điểm $a_i,a_j \; (i \ne j)$ đối xứng nhau qua $d$ thì ta luôn có $\frac{a_j+a_i}{2}=a_m=a_n$ ($a_m,a_n$ đối xứng nhau qua tâm).

Cụ thể, ở trên ta có $a_1=a_{1007}$.

Ta lại có $a_1+a_3=2a_2$ nên $a_{1007}+a_3=2a_2$.

Theo nhận xét ta suy ra tồn tại số $a_k,a_l \; (1 \le k,l \le 2012)$ thỏa mãn $2a_k=2a_l=a_{1007}+a_3$ (đường thẳng nối hai điểm $a_k,a_l$ chính là trục đối xứng của đoạn thẳng $a_{1007}a_3$) và hiển nhiên $k,l \ne 2$.

Do đó $a_2=a_k=a_l$. 

Quy trình trên cứ tiếp tục như vậy. Do đó $2012$ số đó bằng nhau. $\blacksquare$

 

PS


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
phucryangiggs11

phucryangiggs11

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Bài này có ở trong đề của tỉnh nào không đấy ạ?

 

Trên một đường tròn viết 2012 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng liền trước và sau nó. Chứng minh rằng 2012 số bằng nhau



#4
hd1999gl

hd1999gl

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Bài này làm sao?

Cho 1 hình tròn có 2014 điểm bất kì. Chứng minh luôn tồn tại 2 dây cung chia hình tròn đó thành 3 phần , trong đó có 1 phần chứa 4 điểm , 1 phần chứa 10 điểm , 1 phần chứa 2000 điểm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hd1999gl: 30-03-2014 - 13:55





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh