Chủ đề này có 3 trả lời

[hihi2zz]

Cho ba số dương $a,b,c$.Chứng minh

$\frac{a^3b}{3a+b}+\frac{b^3c}{3b+c}+\frac{c^3a}{3c+a}\geq \frac{a^2bc}{2a+b+c}+\frac{b^2ca}{2b+c+a}+\frac{c^2ab}{2c+a+b}$

 

[canhhoang30011999]

Cho ba số dương $a,b,c$.Chứng minh

$\frac{a^3b}{3a+b}+\frac{b^3c}{3b+c}+\frac{c^3a}{3c+a}\geq \frac{a^2bc}{2a+b+c}+\frac{b^2ca}{2b+c+a}+\frac{c^2ab}{2c+a+b}$

ta có $4\frac{a^{3}b}{3a+b}+\frac{b^{3}c}{3b+c}+2\frac{c^{3}a}{3c+a}$$\geq 7\sqrt[7]{\frac{(a^{3}b)^{4}b^{3}c(c^{3}a)^{2}}{(3a+b)^{4}(3b+c)(3c+a)^{2}}}$$\geq 7\frac{a^{2}bc}{\sqrt[7]{(4(3a+b)+(3b+c)+2(3c+a))^{7}:7^{7}}}$$=7 \frac{a^{2}bc}{2a+b+c}$

Tương tự ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 29-12-2013 - 16:54

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\frac{a^3b}{3a+b}+\frac{c^2ab}{2c+a+b}=ab(\frac{a^2}{3a+b}+\frac{c^2}{2c+a+b})\geq \frac{ab(a+c)^2}{4a+2b+2c}\geq \frac{ab.4ac}{2(2a+b+c)}=\frac{2a^2bc}{2a+b+c}$

Lập các bdt tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

[lahantaithe99]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\sum \frac{a^2}{c(3a+b)}\geq \sum \frac{a}{2a+b+c}$

Ta có:

Áp dụng bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

VP$\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})$

$\Leftrightarrow$ VP$\leq \frac{3}{4}$

Áp dụng Bunhiacopxki

VT$\geq \frac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(a+b+c)^2}=\frac{3}{4}$

Suy ra đpcm