Đến nội dung

Hình ảnh

Min, Max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$ ( Sử dụng BBT)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
deptrai9803

deptrai9803

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

1,Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x+y+xy=x^2+y^2$ .Tìm min, max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$,

 



#2
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

$P=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)+(x+y)^{2}-6(x+y)-2xy$ (1)

theo giả thiết ta có

$x^{2}+y^{2}=x+y+xy\Rightarrow (x+y)^{2}-(x+y)=3xy$ (2)

cũng từ giả thiết ta suy ra

$x^{2}-(y+1)x+y^{2}-y=0\Rightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq y\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

tương tự ta cũng có $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

suy ra $\frac{6-4\sqrt{3}}{3}\leq x+y\leq \frac{6+4\sqrt{3}}{3}$

 

từ (1)(2) suy ra

$P=\frac{4}{3}(x+y)^{2}-\frac{16}{3}(x+y)$ 

đặt t=x+y

ta có 

$3P=f(x)=4t^{2}-16t$

đến đây chỉ cần xét bảng biến thiên của hàm f(x) với $t\epsilon \begin{bmatrix} \frac{6-4\sqrt{3}}{3}, \frac{6+4\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$ là sẽ tìm được Max ,Min



#3
deptrai9803

deptrai9803

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

$P=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)+(x+y)^{2}-6(x+y)-2xy$ (1)

theo giả thiết ta có

$x^{2}+y^{2}=x+y+xy\Rightarrow (x+y)^{2}-(x+y)=3xy$ (2)

cũng từ giả thiết ta suy ra

$x^{2}-(y+1)x+y^{2}-y=0\Rightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq y\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

tương tự ta cũng có $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$

suy ra $\frac{6-4\sqrt{3}}{3}\leq x+y\leq \frac{6+4\sqrt{3}}{3}$

 

từ (1)(2) suy ra

$P=\frac{4}{3}(x+y)^{2}-\frac{16}{3}(x+y)$ 

đặt t=x+y

ta có 

$3P=f(x)=4t^{2}-16t$

đến đây chỉ cần xét bảng biến thiên của hàm f(x) với $t\epsilon \begin{bmatrix} \frac{6-4\sqrt{3}}{3}, \frac{6+4\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$ là sẽ tìm được Max ,Min

Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ?? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deptrai9803: 01-01-2014 - 21:56


#4
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ?? 

chỗ bôi đỏ thứ 1 thì để pt có nghiệm thì$\Delta \geq 0$ , nên giải ra tìm ra  đk của y , là tương tự với việc tìm đk của x

chỗ bôi đỏ thứ 2 , thì do thay xy từ (2) vào (1) là ra



#5
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

1,Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x+y+xy=x^2+y^2$ .Tìm min, max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$,

Có cách khác như sau : 

Đặt $x+y=a, xy=b$

Tìm Min :

Từ giả thiết ta $\Rightarrow b=\frac{a^2-a}{3}$

Và $P=\frac{4a^2}{3}-\frac{16a}{4}$

Dễ thấy $P=\frac{4a^2}{3}-\frac{16a}{4}\geqslant \frac{-16}{4}\Leftrightarrow (a-2)^2\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=a=2\\xy=b=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Tìm Max :

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a^2-a}{3}=b \leqslant \frac{a^2}{4}\Rightarrow a(4-a)\geqslant 0$

$\Rightarrow P=\frac{4a(a-4)}{3}\leqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=a=0\\x=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=0$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x+y=a=4\\x=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2$

 

Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ?? 

Xem qua cách của mình nhé, chứ mình thấy cách của bạn không ổn, bạn thử đạo hàm $f(t)$ rồi tìm Min, Max dựa vào bảng biến thiên xem ( nhớ ghi điều kiện xảy ra đẳng thức nhé )

Thanks :D


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh