1,Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x+y+xy=x^2+y^2$ .Tìm min, max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$,
1,Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x+y+xy=x^2+y^2$ .Tìm min, max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$,
$P=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)+(x+y)^{2}-6(x+y)-2xy$ (1)
theo giả thiết ta có
$x^{2}+y^{2}=x+y+xy\Rightarrow (x+y)^{2}-(x+y)=3xy$ (2)
cũng từ giả thiết ta suy ra
$x^{2}-(y+1)x+y^{2}-y=0\Rightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq y\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$
tương tự ta cũng có $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$
suy ra $\frac{6-4\sqrt{3}}{3}\leq x+y\leq \frac{6+4\sqrt{3}}{3}$
từ (1)(2) suy ra
$P=\frac{4}{3}(x+y)^{2}-\frac{16}{3}(x+y)$
đặt t=x+y
ta có
$3P=f(x)=4t^{2}-16t$
đến đây chỉ cần xét bảng biến thiên của hàm f(x) với $t\epsilon \begin{bmatrix} \frac{6-4\sqrt{3}}{3}, \frac{6+4\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$ là sẽ tìm được Max ,Min
$P=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)+(x+y)^{2}-6(x+y)-2xy$ (1)
theo giả thiết ta có
$x^{2}+y^{2}=x+y+xy\Rightarrow (x+y)^{2}-(x+y)=3xy$ (2)
cũng từ giả thiết ta suy ra
$x^{2}-(y+1)x+y^{2}-y=0\Rightarrow \frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq y\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$
tương tự ta cũng có $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$
suy ra $\frac{6-4\sqrt{3}}{3}\leq x+y\leq \frac{6+4\sqrt{3}}{3}$
từ (1)(2) suy ra
$P=\frac{4}{3}(x+y)^{2}-\frac{16}{3}(x+y)$
đặt t=x+y
ta có
$3P=f(x)=4t^{2}-16t$
đến đây chỉ cần xét bảng biến thiên của hàm f(x) với $t\epsilon \begin{bmatrix} \frac{6-4\sqrt{3}}{3}, \frac{6+4\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$ là sẽ tìm được Max ,Min
Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deptrai9803: 01-01-2014 - 21:56
Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ??
chỗ bôi đỏ thứ 1 thì để pt có nghiệm thì$\Delta \geq 0$ , nên giải ra tìm ra đk của y , là tương tự với việc tìm đk của x
chỗ bôi đỏ thứ 2 , thì do thay xy từ (2) vào (1) là ra
1,Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x+y+xy=x^2+y^2$ .Tìm min, max của $P=x^3+y^3+x^2+y^2-6(x+y)$,
Có cách khác như sau :
Đặt $x+y=a, xy=b$
Tìm Min :
Từ giả thiết ta $\Rightarrow b=\frac{a^2-a}{3}$
Và $P=\frac{4a^2}{3}-\frac{16a}{4}$
Dễ thấy $P=\frac{4a^2}{3}-\frac{16a}{4}\geqslant \frac{-16}{4}\Leftrightarrow (a-2)^2\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=a=2\\xy=b=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Tìm Max :
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a^2-a}{3}=b \leqslant \frac{a^2}{4}\Rightarrow a(4-a)\geqslant 0$
$\Rightarrow P=\frac{4a(a-4)}{3}\leqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=a=0\\x=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=0$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x+y=a=4\\x=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2$
Sao lại ra chỗ này hả bạn ?? Mình k hiểu ??
Xem qua cách của mình nhé, chứ mình thấy cách của bạn không ổn, bạn thử đạo hàm $f(t)$ rồi tìm Min, Max dựa vào bảng biến thiên xem ( nhớ ghi điều kiện xảy ra đẳng thức nhé )
Thanks
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh