Chủ đề này có 2 trả lời

[hihi2zz]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x^4+5y^4+10z^4)=f^4(x)+5f^4(y)+10f^4(z) , \forall x,y,z \in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 30-12-2013 - 10:41

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x^4+5y^4+10z^4)=f^4(x)+5f^4(y)+10f^4(z) , \forall x,y,z \in \mathbb{N}\;\;\;(1)$

Trong $(1)$ cho $x=y=z=0$ được $f(0)=16f^4(0)\Leftrightarrow f(0)\in \left \{ 0,\sqrt[3]{\dfrac{1}{16}} \right \}$ nhưng vì $f(0)\in \mathbb{N}\Rightarrow f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $z=0$ được $$f(x^4+5y^4)=f^4(x)+5f^4(y),\;\forall x,y\in \mathbb{N}\;\;(2)$$

Trong $(2)$ cho $x=0$ được $$f(5y^4)=5f^4(y),\;\forall y\in \mathbb{N}$$

Trong $(2)$ cho $y=0$ được $$f(x^4)=f^4(x),\;\forall x\in \mathbb{N}$$

Do vậy ta được phương trình hàm :

$$f(x^4+5y^4)=f(x^4)+f(5y^4),\;\forall x,y\in \mathbb{N}\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{N}$$

Áp dụng định lí về phương trình hàm $Cauchy$ ta được :

$$f(x)=cx,\;\forall x\in \mathbb{N}$$

Thay vào $(1)$ được $c=1$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(x)=x,\;\forall x\in \mathbb{N}}$

[mathandyou]

Bài này trên R vẫn đúng.Chắc bạn chưa học cách CM PTH Cauchy trên R nên mới cho trên N để cm qui nạp ra.