Nếu ta có 2 đại lượng phụ thuộc theo thời gian và giữa chúng có sự liên quan với nhau, ta có thể biểu thị tốc độ thay đổi của đại lượng này theo đại lượng khác. Khi đó ta cần vi phân cả 2 bên theo thời gian, tức là ta sẽ tìm $\frac{df}{dt}$ của hàm $f(t)$ nào đó.
Ví dụ 1: Môt cây thang cao $20 \text{m}$ dựa vào tường, đỉnh thang trượt xuống với tốc độ $4 \text{m/s}$. Hỏi tốc độ di chuyển của điểm giữa thang lúc cách mặt đất $16 \text{m}$ là bao nhiêu ?
Các bước thực hiện:
1. Vẽ hình minh họa cho bài toán.
2. Xác định hằng số và số lượng các biến.
3. Thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng này.
4. Vi phân theo thời gian.
5. Xác định giá trị điểm giữa thang.
Trả lời
Spoiler
Bây giờ mối quan hệ giữa $x$ và $y$ là $x^{2}+y^{2}=20^{2}$
Vi phân hoàn toàn theo thời gian (vì $x$ và $y$ đều phụ thuộc theo thời gian $t$)
$$\frac{d}{dt}x^{2}+\frac{d}{dt}y^{2}=0$$
$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$$
Tức là:
$$x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0$$
Bây giờ, ta đã biết $\frac{dy}{dt}=-4$ và ta cần tìm vận tốc ngang $\frac{dx}{dt}$ khi $x=16$
Một đại lượng chưa xác định giá trị là $y$, sử dụng định lý Pythagoras:
$$y=\sqrt{20^{2}-16^{2}}=12$$
Vậy:
$$16.\frac{dx}{dt}+12.(-4)=0$$
$$\frac{dx}{dt}=3\, \text{m/s}$$
Ví dụ 2: Một hòn đá rơi vào 1 cái ao tạo thành những gợn sóng hình tròn đồng tâm loang rộng ra xung quanh. Hỏi tốc độ diện tích một trong các hình tròn này gia tăng là bao nhiêu vào thời điểm bán kính hình tròn đó tăng thành $4 \, \text{m}$ và loang rộng với vận tốc $4 \, \text{m/s}$ ?
Trả lời
Spoiler
Mối quan hệ: $$A= \pi r^{2}$$
Vi phân theo thời gian, sau đó thay vào các giá trị có sẵn
Điều này có nghĩa vận tốc theo chiều trục $y$ là $-5,195\, \text{km/h}$
Ví dụ 4: Một máy điều hưởng điện từ có tần số $f$ thay đổi tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tụ điện $C$ trong mạch. Nếu $f=920 \, \text{kHz}$ khi $C=3,5 \, \text{pF}$, hỏi tốc độ tần số $f$ thay đổi nhanh thế nào nếu như $\frac{dC}{dt}=0,3 \, \text{pF/s}$ ?
