Bài toán :Cho $\Delta ABC$ có đường tròn $(I)$ nội tiếp trong tam giác và tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Vẽ đường tròn $(I_{1})$ đi qua $I$ và tiếp xúc với AB,AC .Vẽ đường tròn $(I_{2})$ đi qua $I$ và tiếp xúc với AB,BC. Vẽ đường tròn $(I_{3})$ đi qua $I$ và tiếp xúc với AC,BC. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là giao điểm thứ 2 khác $I$ của các cặp đường tròn $(I_{2}),(I_{3});(I_{1}),(I_{3});(I_{1}),(I_{2})$. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AIX,BIY,CIZ$.
CMR: $M,N,P$ thẳng hàng .
Thực hiện phép nghịch đảo cực $I$ với phương tích bất kì, ta có bài toán đã cho tương đương với bài toán sau.
Bài toán. Cho tam giác $ABC$,trực tâm $H$. Gọi $(X),(Y),(Z)$ thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BHC,CHA,AHB$. Các tiếp tuyến chung ngoài của các cặp đường tròn $(X),(Y),(Z)$ cắt nhau tạo thành tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $AP,BQ,CR$ đồng quy.
Để chứng minh bài toán này, ta cần đến bổ đề đơn giản sau.
Cho hai tam giác $ABC$ và $DEF$ có các cặp cạnh $(AB,DE),(BC,EF),(CA,FD)$ tương ứng song song. Khi đó ta có các đường thẳng $AD,BE,CF$ đồng quy tại tâm vị tự biến tam giác này thành tam giác kia.
Trở lại bài toán, ta sẽ chứng minh hai tam giác $ABC$ và $PQR$ có các cặp cạnh tương ứng song song.
Ta có tính chất quen thuộc. Tâm ngoại tiếp các tam giác $HBC,HCA,HAB$ thứ tự là đối xứng của tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ qua $BC,CA,AB$ và
Gọi $M,N$ là các tiếp điểm của tiếp tuyến chung của $(Z),(Y)$ trên $(Z),(Y)$
Khi đó Ta có $ZM=YN=R$ và $ZM//YN$ nên tứ giác $ZMNY$ là hình bình hành, thêm nữa $\widehat{ZMN}=90^{\circ}$ nên tứ giác này là hình chữ nhật,nên $MN//YZ$
Mà $YZ$ là đường trung trực của $AH$ và $AH\perp BC$ nên ta có $MN//BC$ hay $QR//BC$
Chứng minh tương tự ta có ngay điều phải chứng minh.
