hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
Chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$.
#1
Đã gửi 31-12-2013 - 09:43
#2
Đã gửi 31-12-2013 - 10:00
Theo em là bđt NESBIT
#3
Đã gửi 31-12-2013 - 10:53
hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
dùng bđt bunhia...
- Tran Hoai Nghia và stronger steps 99 thích
#4
Đã gửi 31-12-2013 - 11:00
$(\sum_{k=1}^{n}a_{k})^{2}=(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\frac{\sqrt{x_{k}}}{\sqrt{x_{k}}})^{2}\leq (\sum_{k=1}^{n}x_{k})(\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}^{2}}{x_{k}})$
thay k=2 có đpcm
- stronger steps 99 yêu thích
#5
Đã gửi 31-12-2013 - 11:31
dùng bđt bunhia...
Ý của em là cái này chứ gì:
$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})(x+y)\geqslant (\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^{2}=(a+b)^{2}$
(buniakovsky)
điều kiện là x,y dương.
Anh mới biết cách này nhờ pham thanh thuan.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 31-12-2013 - 11:37
- pham thuan thanh và vipboycodon thích
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
#6
Đã gửi 31-12-2013 - 11:45
Ý của em là cái này chứ gì:
$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})(x+y)\geqslant (\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^{2}=(a+b)^{2}$
(buniakovsky)
điều kiện là x,y dương.
Anh mới biết cách này nhờ pham thanh thuan.
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
- stronger steps 99 yêu thích
#7
Đã gửi 31-12-2013 - 11:47
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
Nhưng khi thi thì phải chứng minh svác-xơ. Nên biến đổi tương đương thì hay hơn.
- Yagami Raito và Tran Hoai Nghia thích
#8
Đã gửi 31-12-2013 - 11:49
Nhưng khi thi thì phải chứng minh svác-xơ. Nên biến đổi tương đương thì hay hơn.
^^.
- stronger steps 99 yêu thích
#9
Đã gửi 31-12-2013 - 11:54
Mấy bạn ơi . Nếu đi thi mà dùng cái khác quên chứng minh thì có được tính không hay là bị trừ mất bao nhiêu điểm .
Tại năm nay đi thi nên hỏi cho biết.
Xin đừng xóa bài này nhá. Tại mình mới dô nên không biết gửi chỗ nào.
#10
Đã gửi 31-12-2013 - 12:08
với x, y $>$ 0
Ta có: (ad)2 + (bc)2 $\geq$ 2abcd
<=> (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2 $\geq$ 2abcd + (ac)2 + (bd)2
<=> a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) $\geq$ (ac + bd)2
<=> (a2 + b2)(c2 + d2) $\geq$ (ac + bd)2
Thay c bởi $\sqrt{x}$, d bởi $\sqrt{y}$ , a bởi $\frac{a}{\sqrt{x}}$, b bởi $\frac{b}{\sqrt{y}}$ ta có
($\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$)(x + y) $\geq (a + b)^{2}$
<=> $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$(đpcm)
#11
Đã gửi 31-12-2013 - 12:15
Ý của em là cái này chứ gì:
$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})(x+y)\geqslant (\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^{2}=(a+b)^{2}$
(buniakovsky)
điều kiện là x,y dương.
Anh mới biết cách này nhờ pham thanh thuan.
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
Điều kiện BĐT s_vac là mẫu dương nếu làm thế này thì???
có lẽ đề thiếu
- pham thuan thanh, stronger steps 99 và hoangmanhquan thích
Chuyên Vĩnh Phúc
#12
Đã gửi 31-12-2013 - 12:53
Điều kiện BĐT s_vac là mẫu dương nếu làm thế này thì???
có lẽ đề thiếu
uk. cần đk mẫu dương
- stronger steps 99 yêu thích
#13
Đã gửi 31-12-2013 - 13:17
Mấy bạn ơi . Nếu đi thi mà dùng cái khác quên chứng minh thì có được tính không hay là bị trừ mất bao nhiêu điểm .
Tại năm nay đi thi nên hỏi cho biết.
Xin đừng xóa bài này nhá. Tại mình mới dô nên không biết gửi chỗ nào.
Bài làm sẽ không tính điểm.
Về phần bất đẳng thức thì chỉ cho xài AM-GM( hay gọi là cô si) cho 2,3 số; buniakovsky cho 2 bộ số thôi, mấy cái khác thì miễn bàn.
- mrwin99 và vipboycodon thích
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
#14
Đã gửi 01-01-2014 - 20:19
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
Cái này chính là Schwarz dạng hai số đó bạn ạ (người ta còn gọi là Cauchy-Schwarz dạng Engel)
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#15
Đã gửi 01-01-2014 - 20:20
Theo em là bđt NESBIT
????
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#16
Đã gửi 01-01-2014 - 20:32
hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
Mình xin nêu cách chứng minh tổng quát bài này (bằng BĐT Cauchy-Schwarz)
Cho hai bộ số thực $(a_{1};a_{2};..........;a_{n})$ và $(b_{1};b_{2};..........;b_{n})$ trong đó bộ thứ hai dương. Ta có:
$\sum \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}\geq \frac{(a_{1}+.+a_{n})^{2}}{b_{1}+....+b_{n}}$
Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho hai bộ số:
$(\frac{a_{1}}{\sqrt{b_{1}}};....;\frac{a_{n}}{\sqrt{b_{n}}})$ và ($\sqrt{b_{1}};.....;\sqrt{b_{n}}$)
Ta có đpcm.
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#17
Đã gửi 02-01-2014 - 15:37
Cái này chính là Schwarz dạng hai số đó bạn ạ (người ta còn gọi là Cauchy-Schwarz dạng Engel)
có sách cũng viết đấy là bdt svac xơ.
#18
Đã gửi 02-01-2014 - 17:03
hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
Đây chính là bđt Cauchy-Swtach được chứng minh = bđt Bunhiacopxki
#19
Đã gửi 04-01-2014 - 09:00
có sách cũng viết đấy là bdt svac xơ.
Schwarz là tên thật, còn svac xơ là cách đọc của Schwarz thôi mà. Giống nhau.......
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh