Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

UCLN($n^{a}+1, n^{b}+1$) $\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2013 - 11:53

UCLN (a,b)=1; b là số lẻ. CMR UCLN($n^{a}+1, n^{b}-1$) $\leq 2$ với mọi số tự nhiên n


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 31-12-2013 - 12:29


#2 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 31-12-2013 - 12:22

UCLN (a,b)=1; b là số lẻ. CMR UCLN($n^{a}+1, n^{b}+1$) $\leq 2$ với mọi số tự nhiên n

đề sai rồi cho a=3,b=5 ,n=2 thì vô lí 

đề phải là b chẵn mới làm được chứ


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#3 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2013 - 12:30

đề sai rồi cho a=3,b=5 ,n=2 thì vô lí 

đề phải là b chẵn mới làm được chứ

đã sửa lại đề



#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 31-12-2013 - 16:43

Lời giải.

Bổ đề. Cho $a,m,n \in \mathbb{N}^*$ thì $\left( a^m-1,a^n-1 \right)=a^{(m,n)}-1$.

Chứng minh. Gọi $\left( a^m-1,a^n-1 \right)=d$

Theo định lý Bezout, luôn tồn tại hai số nguyên $x,y$ thoả mãn $mx+bn=\gcd (m,n)$.

Do đó $a^{\gcd (m,n)}-1=a^{mx+bn}-1=a^{bn} \left( a^{mx}-1 \right)+a^{bn}-1$ chia hết cho $d$ vì $d|a^{mx}-1,d|a^{bn}-1$.

Ta dễ dàng suy ra nếu $k|a^{(m,n)}-1$ thì $k|a^m-1,k|a^n-1$.

Vậy $\left( a^m-1,a^n-1 \right)=a^{(m,n)}-1$.

=========================================

 

Quay lại bài toán. Gọi $d= \gcd \left( n^a+1,n^b-1 \right)$ thì $d|n^b-1+n^a+1 \Rightarrow d|n^{|a-b|}+1$ (vì $(d,n)=1$).

Lại có $d|n^a+1$ nên duy ra $d|n^a-n^{|a-b|} \Rightarrow d|n^{|a-|a-b||}-1$ (vì $(d,n)=1$).

Mà $d|n^b-1$ nên $d| \left( n^{|a-|a-b||}-1,n^b-1 \right) \Rightarrow d|n-1$ (dễ dàng chứng minh $\gcd \left( b,|a-|a-b|| \right)=1$). Vậy $d|n^a-1$ dẫn đến $d|2$.

Như vậy $\gcd \left(n^a+1,n^b-1 \right) \le 2$. $\blacksquare$

 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh