Cho $ab+bc+ca=1$ Tìm min $M=\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Mặc dù biết là của đề thi thử Vĩnh Phúc 2014 Lần 2 khối D nhưng mình nghĩ lời giải ấy có vấn đề...
Mong nhận được lời giải !
$ab+bc+ca=1$ Tìm min $M=\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ (Vĩnh Phúc L2 Khối D)
Bắt đầu bởi elroja, 31-12-2013 - 14:44
#2
Đã gửi 31-12-2013 - 15:46
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $ab+bc+ca=1$ Tìm min $M=\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Mặc dù biết là của đề thi thử Vĩnh Phúc 2014 Lần 2 khối D nhưng mình nghĩ lời giải ấy có vấn đề...
Mong nhận được lời giải !
Lời giải. Ta có $$\begin{aligned} M & = \frac{1}{abc}+ \frac{4abc}{(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab)} \ge \frac{1}{abc}+ \frac{27abc}{2(ab+bc+ca)^3} \\ & = \left( \frac{1}{2abc}+ \frac{27abc}{2} \right)+ \frac{1}{2 \sqrt{ab \cdot bc \cdot ca}} \\ & \ge 2 \sqrt{ \frac{1}{2abc} \cdot \frac{27abc}{2} }+ \frac{3 \sqrt 3}{2(ab+bc+ca)\sqrt{ab+bc+ca}}=\frac{9 \sqrt 3}{2}. \end{aligned}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \frac{1}{ \sqrt 3}$. $\blacksquare$
- nguyentrungphuc26041999, hoctrocuanewton, canhhoang30011999 và 2 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 31-12-2013 - 16:53
elroja
-
- Thành viên
-
- 35 Bài viết
Binh nhất
Hình như mình ghi đề sai, phải là ab+bc+ca=3 mới đúng nhưng chắc cách làm cũng tương tự. Cám ơn !
#4
Đã gửi 31-12-2013 - 17:54
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Hình như mình ghi đề sai, phải là ab+bc+ca=3 mới đúng nhưng chắc cách làm cũng tương tự. Cám ơn !
Nếu đó là $ab+bc+ac=3$. Theo bđt Cosi có :
$M=\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{2abc}+\frac{1}{2abc}\geq 2\sqrt{\frac{4}{2abc(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{2abc}= 2\sqrt{\frac{2}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{2abc}$
Mặt khác ta lại có :$abc(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+ac)(bc+ba)(ca+cb)\leq \frac{8(ab+bc+ac)^3}{27}=\frac{8.3^3}{27}=8$
$3=ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}= > abc\leq 1$
Đến đây thay vào bđt Cần chứng minh ta tìm được giá trị nhỏ nhất
- Zaraki yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
