Lịch sử 300 năm Lý thuyết Xác suất
Lịch sử Lý thuyết Xác suất chính thức bắt đầu từ năm 1713. Vì sao? Vì vào năm 1713, cuốn sách của Jacob Bernoulli mang tên Nghệ thuật Phỏng đoán (Ars Cọnectandi) được xuất bản bởi người cháu trai của ông, Nicolaus Bernoulli, sau khi ông mất 8 năm.
Cuốn sách gồm có 4 phần.
Phần I - "Tractatum Hugenii De Ratiociniis in Lugo Aleae, Cum Annotationibus Jacobi Bernoulli" - Một bản chú thích của De Ratiociniis in Lugo Aleae.
Phần II - "Doctrinam de Permutationibus and Combinationibus". Trong phần này, ông chứng minh công thức Nhị thức Newton.
Phần III - "Usum Praecedentis Doctrinam in variis Sortitionibus and Ludins Aleae" - Phần này, ông đưa ra một số ứng dụng của phần II cho nhiều bài toán xác suất.
Và phần cuối cùng cũng là phần quan trọng nhất, phần IV - "Usum and Applicationem Praecedentis Doctrinam in Civilibus Moralibus and Oeconomicis". Trong phần này, ông phát triển một trong 3 định luật cơ bản của xác suất, ngày nay gọi là Luật Số lớn Yếu (Tiếng Anh: Weak Law of Lager Numbers - viết tắt: Weak LLN) (thuật ngữ Luật Số lớn Yếudo Poisson đề xuất). Để biết ơn việc tìm ra Luật Số lớn Yếu, giới xác suất thống kê toán học đặt tên định luật này là Bernoulli.
Luật số lớn (LLN)
Định nghĩa cổ điển của xác suất như sau: Gọi $A$ là biến cố với xác suất $p=p(A)$. Tính $p$ như thế nào?. Để làm điều này, ta xét $n$ đối tượng quan sát và đếm được $n(A)$ đối tượng làm xuất hiện biến cố $A$. Đặt:
$$\nu_n(A) = \frac{n(A)}{n}$$
Khi đó, ta có:
$$\lim_{n \to \infty}P\left ( \left | \nu _n(A)-p \right |> \varepsilon \right )=0,\forall \varepsilon > 0$$
Đó là Luật số lớn mang tên Bernoulli, người đã bỏ ra 20 năm chứng minh một trong những định luật quan trọng nhất của lý thuyết xác suất.
Định lý giới hạn trung tâm
Một cách xử lí biểu thức dưới đây là xấp xỉ sai số .
$$P\left ( \left | \nu _n(A)-p \right |> \varepsilon \right )$$
Một trong những bài toán điển hình của thống kê là nghiên cứu sai số của xấp xỉ trên. Ta nói rằng đó là nguồn gốc của Định lý Giới hạn trung tâm (Tiếng Anh: The Central limit theorem, viết tắt: CLT) (Thuật ngữ này do Polya đề xuất).
Định lý Giới hạn trung tâm nói rằng:
$$P\left \{ \left | \frac{n(A)}{n}-p \right | \leq \varepsilon \right \}\approx \Phi \left ( \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}} \right )-\Phi \left (- \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}} \right )$$
Trong đó:
$$\Phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt;p+q=1$$
Chú ý rằng:
$$pq \leq \frac{1}{4}$$
Ta có:
$$\Phi \left ( \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}} \right )-\Phi \left (- \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}} \right ) \geq 2\Phi (2\varepsilon \sqrt{n}) - 1$$
Sử dụng xấp xỉ này, ta có thể giải quyết nhiều bài toán thống kê như: Kích cỡ mẫu, kiểm định giả thuyết, dự toán thời gian.
Một câu hỏi hấp dẫn là sai số của xấp xỉ chuẩn.
Cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đồng phân phối $X_n$ với $E(X_n) = 0$ và $Var(X_n)=1$, Định lý giới hạn trung tâm nói rằng:
$$\lim_{n \to \infty}P\left ( a < \frac{S_n}{\sqrt{n}} < b\right ) = \Phi (b) - \Phi (a)$$
Trong đó:
$$S_n = X_1+X_2+...+X_n, \Phi (t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{t}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
Bất đẳng thức Berry Essence (BEI)
Có nhiều phương pháp chứng minh Định lý Giới hạn trung tâm. Phương pháp truyền thống là sử dụng hàm đặc trưng, nhưng quá dài dòng. Tuy nhiên, một phương pháp mới được đề xuất gần đây bởi Stein là sử dụng BĐT Berry - Essence:
Giả sử $\beta ^3 = E|X|^3 < \infty$, khi đó:
$$sup _{t}\left | P\left ( \frac{S_n}{\sqrt{n}}< t \right ) -\Phi (t)\right | \leq C\frac{\beta ^3}{\sqrt{n}}$$
Kết quả này thu được lần đầu bởi Berry (năm 1941) và Essence (năm 1942). Ước lượng hằng số $C$ là rất quan trọng cả về mặt lý thuyết và thực hành và cũng trải qua một lịch sử dài. Kết quả gần đây nhất là $C < 0.4785$ (Đề xuất bởi Tyurin năm 2011).
Trong trường hợp $X_k$ nhận các giá trị $0,1$ với xác suất $p,q$ tương ứng, $S_n$ là phân phối nhị thức $B(p,n)$, ta có BĐT Berry-Essence dạng:
$$sup_{t}\left | P\left ( \frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}< t \right ) -\Phi (t)\right | \leq C\frac{1}{\sqrt{pqn}}$$
Do đó, phân phối nhị thức có thể được xấp xỉ bởi phân phối chuẩn với sai số nhỏ hơn $\frac{1}{\sqrt{pqn}}$, đại lượng này dần tới vô cùng khi $p \to 0$.
Điều này thể hiện rằng xấp xỉ Chuẩn không tốt khi $p$ đủ nhỏ. Trong trường hợp đó, chúng ta nên sử dụng xấp xỉ Possion.
Xấp xỉ Possion
Đặt $B(n,p)$ là phân phối nhị thức} và $\pi (\lambda)$ là phân phối Poisson, khi đó, với mọi $n=1,2,...$, ta có:
$$\left | \sum_{k=0}^{n}\left ( B(n,p)k \right )-\pi(\lambda,k) \right | \leq k(\lambda)np^2$$
Ở đó: $k(\lambda ) \leq \frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}$. Do đó với $\lambda = np$ thì sai số trong xấp xỉPossion} là gần $p$ nhất (Kết quả đáng chú ý này được tìm ra bởi Louis Chen năm 1973.
Những sự kiện quan trọng
Quá trình phát triển của Lý thuyết Xác suất, có một vài nét đáng lưu ý
1) Lý thuyết Xác suất không được xem là một phân môn quan trọng của toán học trong hơn hai thế kỷ cho đến khi Kolmogorov công bố cuốn sách "Foundations of probability theory" năm 1933. Đến tận năm 2006, lần đầu tiên Giải thưởng Field mới được trao cho lĩnh vực xác suất, người được nhận giải là Wendelin Werner, sinh năm 1968.
2) Trong khi đó, K.Ito (1915-2008) là người được nhận Giải Gauss (năm 2006) nhờ xây dựng tính toán ngẫu nhiên;
Varadhan (sinh năm 1940) được nhận Giải Abel (năm 2007) vì những đóng góp của ông cho Lý thuyết về độ lệch lớn.
Ngoài ra, cũng cần chú ý rằng phân phối $\chi ^2$ (do Peason} đề suất) được xem là một trong 20 phát kiến vĩ đại nhất thế kỷ 20.
3) Phương pháp xác suất ngày càng có nhiều ảnh hưởng tới các phân môn toán học thuần túy (từ lý thuyết số tới lý thuyết đồ thị) và ứng dụng vào các ngành khoa học khác cũng như kinh tế (từ khoa học máy tính tới tài chính). Khởi xướng phương pháp này là Paul Erdos (1915-1997), người được mệnh danh là Euler của thời đại chúng ta (từ khi ông là tác giả của hơn 1500 bài báo và đồng tác giả của 500 bài báo khác).
4) Ở Việt Nam, Lý thuyết Xác suất được giảng dạy cho sinh viên của ĐH Hà Nội lần đầu năm 1960 bởi người thầy đáng kính của chúng tôi - thầy Nguyễn Bác Văn. Tài liệu đầu tiên bằng tiếng Việt được dịch từ cuốn "The Theory of Probability" của Gnhedenco (Nga).
GS Vũ Hà Văn (sinh năm 1970) đã dành Giải thưởng Polya (năm 2008) và Giải Fulkerson (năm 2013) vì những đóng góp của ông cho phương pháp xác suất. Ông là đại diện tiêu biểu cho các nhà toán học Việt trong lý thuyết xác suất.
Tài liệu tham khảo
- Kees Verduin, (2009), A short History of Probability and Statistics, http://www.leidenuni...st/stathist.htm
- I.S.Tyurin, (2011), On the convergence rate in Lyapunov theorem. Theor.Probab.Appl, http://epubs.siam.or...rnalCode=tprbau
- On the convergence of Poisson binomial to Poisson distribution, Ann, Probab.2 (1974), 178-180.
- Poisson approximation for dependent trials. Ann. Probab. 3 (1975), 534-545.
Download file pdf: 
PT.pdf 922.2K
707 Số lần tải
