Chủ đề này có 4 trả lời

[buitudong1998]

Cho x, y, z dương thỏa mãn $xyz=1$ . CMR: $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant 1$

Thầy mình bảo bai này có thể CM bằng đa thức mong mọi người giúp nhé''

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 31-12-2013 - 21:10

[nghiemthanhbach]

Cho x, y, z dương thỏa mãn $xyz=1$ . CMR: $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant 1$

Thầy mình bảo bai này có thể CM bằng đa thức mong mọi người giúp nhé''

Bất đẳng thức sai với $x=y=z=1$

[buitudong1998]

Minh đánh nhầm lẽ ra là $\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

[ma29]

Cho x, y, z dương thỏa mãn $xyz=1$ . CMR: $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geqslant 1$

Thầy mình bảo bai này có thể CM bằng đa thức mong mọi người giúp nhé''

Giả sử $x\geq y \geq z$ thì khi này ta dùng bđt phụ sau : $$\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}$$

$$\Leftrightarrow  \left ( \frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z} \right )^2\geq (x+z)^2(y+z)^2$$

Bất đằng thức này đúng vì ta luôn có : $4xy\geq 4y^2\geq (y+z)^2$ và $ (x+y)^2\geq (x+z)^2$

Vậy ta chỉ cần  chứng mình : $$\frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$$

Bất đẳng thức này đối xứng hai biến $x$ và $y$ và các biến sắp xếp nên ta sẽ đặt $y=z+a$ và $x=z+b$ với $a,b\geq 0$ để có thể khai thác tối đa giả thuyết bài toán 

$$\frac{z}{4}+\frac{2}{(2z+b)(2z+a)}+\frac{2}{(1+z)(1+z+a)(1+z+b)}\geq 1$$

$$\Leftrightarrow f(z)=a^2b^2z^2-3a^2b^2z-4a^2b^2+3a^2bz^3-8a^3bz^2-15a^2bz-4a^2b+2a^2z^4-4a^2z^3-14a^2z^2-8a^2z+3ab^2z^3-8ab^2z^2-15ab^2z-4ab^2z+9abz^4-21abz^3-53abz^2-19abz+12ab+6az^5-10az^4-46az^3-30az^2+24az+8a+2b^2z^4-4b^2z^3-14b^2z^2-8b^2z+6bz^5-10bz^4-46bz^3-30bz^2+24bz+8b+4z^6-4z^5-36z^4-36z^3+40z^2+40z+8\geq 0, z\geq 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ma29: 01-01-2014 - 00:30

[thienqc]

ủa toán casio cũng có những dạng này à? lạ quá