Trước hết mình xin chúc các thành viên của Diễn Đàn Toán Học năm mới vui vẻ và hạnh phúc, đạt được nhiều thành công trong công việc cũng như học tập và ... tìm gấu
Bài toán 1. Với $a,\;b$ là hai số thực dương tùy ý. Hãy chứng minh bất đẳng thức
\[\left( {{a}^{2}}+b+\frac{3}{4} \right)\left( {{b}^{2}}+a+\frac{3}{4} \right)\ge \left( 2a+\frac{1}{2} \right)\left( 2b+\frac{1}{2} \right).\]
Lời giải. Quan sát một chút ta thấy mỗi biểu thức trong ngoặc ở vế phải có thể phân tách thành tổng của hai số hạng mà một trong nó sẽ giống với một thừa số bên vế phải, cụ thể là
\[2\left( {{a}^{2}}+b+\frac{3}{4} \right)=\left( 2{{a}^{2}}+1 \right)+\left( 2b+\frac{1}{2} \right).\]
Mặt khác với $a=b=\frac{1}{2}$ thì đẳng thức của bài toán xảy ra, đồng thời $2{{a}^{2}}+1=2b+\frac{1}{2},$ vì thế nếu sử dụng đẳng thức này sau đó sử dụng tiếp bất đẳng thức AM-GM cho vế trái thì ta có thể giản ước bớt đi đại lượng $\left( 2a+\frac{1}{2} \right)\left( 2b+\frac{1}{2} \right)$ cho vế phải mà vẫn đảm bảo được dấu bằng của bài toán.
Ý tưởng là như vậy và ta sẽ tiến hành như sau. Viết bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh lại dưới dạng
\[\left[ \left( 2{{a}^{2}}+1 \right)+\left( 2b+\frac{1}{2} \right) \right]\left[ \left( 2{{b}^{2}}+1 \right)+\left( 2a+\frac{1}{2} \right) \right]\ge 4\left( 2a+\frac{1}{2} \right)\left( 2b+\frac{1}{2} \right).\]
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$$\left( 2{{a}^{2}}+1 \right)+\left( 2b+\frac{1}{2} \right)\ge 2\sqrt{( 2{{a}^{2}}+1)\left( 2b+\frac{1}{2} \right)},$$
và
\[\left( 2{{b}^{2}}+1 \right)+\left( 2a+\frac{1}{2} \right)\ge 2\sqrt{\left( 2{{b}^{2}}+1 \right)\left( 2a+\frac{1}{2} \right)}.\]
Từ đánh giá trên ta đưa bài toán về chứng minh
\[\left( 2{{a}^{2}}+1 \right)\left( 2{{b}^{2}}+1 \right)\ge \left( 2a+\frac{1}{2} \right)\left( 2b+\frac{1}{2} \right).\]
Bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ đánh giá cơ bản sau đây
\[2{{x}^{2}}+1\ge 2x+\frac{1}{2},\]
với $x$ là số thực bất kỳ.
Nhưng điều này là hiển nhiên vì
\[2{{x}^{2}}+1-\left( 2x+\frac{1}{2} \right)=2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0. \]
Bài toán được chứng minh.
Trên đây là ý tưởng của mình để giải bài toán này. Nó khá dễ nên cách chứng minh của nó cũng dễ tìm ra, nhưng điều mình muốn nói ở đây là ý tưởng. Những ý tưởng trên có thể chưa phải là hay nhất, nhưng cũng từ những suy luận có lý mà ra. Các bạn hãy thử đề xuất bài toán (có thể nêu được ý tưởng giải) để mọi người cùng bàn luận nhé.
À, không biết bài toán trên còn hướng tiếp cận nào khác không nhỉ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 01-01-2014 - 01:18