Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z> 0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{4}y}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

[Ha Manh Huu]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z> 0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{4}y}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{x^4y}{x^2+1}= \sum \frac{x^4}{x^3z+xz}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sum x^3z+\sum xz}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2(x^4+y^4+z^4)+4\sum x^2y^2\geq 3\sum x^3z+3\sum xy$

ta có  $2x^4+2x^2z^2 \geq 4x^3z\Rightarrow 2\sum x^4+2\sum x^2z^2\geq 4\sum x^3z$

như vậy ta cần cm $x^3z+z^3y+y^3x +2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 3(xy+yz+zx)$

ta có $xy^3+x^2z^2+x^2y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^3.(xyz)^2}=3xy$ tương tự rồi cộng vế ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 01-01-2014 - 11:00

[lahantaithe99]

Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$$x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

VT bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$A=\sum \frac{a^4}{bc(a^2+b^2)}$$A=\sum \frac{a^4}{bc(a^2+b^2)}$

Áp dụng bđt S.vác có

$A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)+b^3c+c^3a+a^3b}$

Dế thấy $a^3b+b^3c+c^3a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2}{2}$ (theo côsi)

             và $abc(a+b+c)\leq \sum a^2b^2$  

Suy ra $A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2b^2+\frac{a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2}{2}}$ 

$A\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\sum a^2b^2}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1