Chủ đề này có 4 trả lời

[kirito19]

  Giải phương trình:
$2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

[tienvuviet]

Cách 1: Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}=t \ge 0$

 

pt $\Leftrightarrow t^2 -(1+3\sqrt{x+1})t +2x=0$

 

Có $\Delta = (\sqrt{x+1}+3)^2$

 

 

Cách 2: 

 

$\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}+3\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x}}  \le \dfrac{x-1+\dfrac{1}{x}}{2}+\dfrac{3(\dfrac{x^2-1}{x} +1 )}{2}=2x+1-\dfrac{1}{x}$.

[Simpson Joe Donald]

  Giải phương trình:
$2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có $$\begin{cases} \frac{3}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)+\frac{3}{2}\ge 3\sqrt{x-\frac{1}{x}} \\ \frac{1}{2}\left( x-1 \right)+\frac{1}{2x}\ge \sqrt{1-\frac{1}{x}} \end{cases} \implies 2x+\frac{x-1}{x}\ge \sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$$

Do đó dấu $“=”$ trong PT đã cho xảy ra khi và chỉ khi $$\begin{cases} x>0 \\ x-\frac{1}{x}=1\\x-1=\frac{1}{x}\end{cases} \iff \begin{cases}x>0 \\ x^2-x-1=0 \end{cases} \iff x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

[Simpson Joe Donald]

 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có $$\begin{cases} \frac{3}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)+\frac{3}{2}\ge 3\sqrt{x-\frac{1}{x}} \\ \frac{1}{2}\left( x-1 \right)+\frac{1}{2x}\ge \sqrt{1-\frac{1}{x}} \end{cases} \implies 2x+\frac{x-1}{x}\ge \sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$$

Do đó dấu $“=”$ trong PT đã cho xảy ra khi và chỉ khi $$\begin{cases} x>0 \\ x-\frac{1}{x}=1\\x-1=\frac{1}{x}\end{cases} \iff \begin{cases}x>0 \\ x^2-x-1=0 \end{cases} \iff x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

 

Có lẽ lời giải này chưa chặt chẽ lắm!! Xử lí bằng ẩn phụ vậy:p

 

Viết pt dưới dạng:

$$2(x+1)-2+\left(1-\frac{1}{x}\right)-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{(x+1)\left(1-\frac{1}{x}\right)}=0$$

 

Đặt : $a=\sqrt{1-\frac{1}{x}} \ ; \ b=\sqrt{x+1}$

Phương trình đề cho trở thành:

$$2b^2-3ab+(a^2-a-2)=0$$

Có  $\Delta =9a^2-8(a^2-a-2)=(a+4)^2$

[canhhoang30011999]

bài giải băng bđt của bạn Simpson Joe Donald ko đúng do x chưa dương nên ko dùng Cô-si được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 03-01-2014 - 17:02