Chủ đề này có 12 trả lời

[babymath]

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau:

$$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$

Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước.

a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$

b) Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$

 

Câu 2:

a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:

$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$

b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng:

$$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$

 

Câu 3: Tính các giới hạn sau:

a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$

b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$

(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )

 

Câu 4: Cho $f:\left [ -1,1 \right ]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:

$$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$$

Chứng minh rằng tồn tại  $c\in \left ( -1,1 \right )$ sao cho $f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm $ f$ thỏa các điều kiện trên sao cho $f^{'''}\left ( x \right )=3,\forall x\in \left [ -1,1 \right ].$

 

Câu 5: Tính các tích phân sau:

a) $J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$

b) $I_{n}=\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\in \mathbb{N} \right )$

 

Câu 6: Cho đa thức $ P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\in \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right ).$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-01-2014 - 12:54

[hochoi1323]

Đề thi tuyển olympic Toán SV Trường ĐH GTVT TPHCM
Câu1:Cho dãy số$ \left \{ u_{n} \right \},n \epsilon \mathbb{N}$ được xác định:
$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$
Trong đó$ \alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a.Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$.
b.Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng$ \lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$
Câu 2:
a. Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0$.
b.Cho $\alpha \epsilon \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng: $\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\epsilon \left \lfloor -1,1 \right \rfloor$.
Câu 3:Tính các giới hạn sau:
a. A=$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
b.$B=\lim_{x \to 0}( x^{2}( 1+2+3+...+[ \frac{1}{[ x ]}] ) )$  ( trong đó $ [ x ]$ là phần nguyên của $x$ )
Câu 4: Cho $ f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$
Chứng minh rằng tồn tại $c\epsilon \left ( -1,1 \right )$ sao cho$ f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm f thỏa các điều kiện trên sao cho$ f^{'''}\left ( x \right )=3$,$\forall x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$.
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a.$ J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$
b.$ I_{n}=\int_{-\Pi }^{\Pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$
Câu 6: Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\epsilon \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại k nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right )$.   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 04-01-2014 - 19:17

[hoangtrong2305]

Câu 5: Tính các tích phân sau:
a.$ J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$

 

Đặt $t=x+3$ ta được

 

$J\left ( t \right )=\int te^{t}.\cos 3t\ dt$

 

Từng phần, ta được:

 

$J(t)=\frac{1}{10}te^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)-\frac{1}{10}\int e^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)\ dt$

 

$J(t)=\frac{1}{10}te^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)-\frac{1}{100}e^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)+\frac{3}{20}e^{t}(\cos 3t-\ sin 3t)$

 

P/S: Bài làm chỉ mang tính tham khảo, có thể sai sót trong quá trình tính toán

[hochoi1323]

t= x+3 => x=t-3 chứ bạn

[YeuEm Zayta]

có đề đại số không bạn

[bangbang1412]

 

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau:

$$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$

Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước.

a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$

 

 

 

 

Bài $1$ , a) Ta tìm luôn công thức tổng quát của $u_{n}$ khi $a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$

Trước hết ta chứng minh được dãy $u_{n}$ là hữu tỷ với mọi $n$ , đặt $u_{n}=\frac{f(n)}{n+1}$ với $f(n)$ là một hàm nào đó

Ta có $\frac{f(n)}{n+1}=\frac{n}{n+1}\frac{f(n-1)}{n}+\frac{n^{2}}{n+1}$ hay $f(n)-f(n-1)=n^{2}$

Ta có $f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+........+f(2)-f(1)=n^{2}+.....+2^{2}+1-1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1$

Hay $f(n)=f(1)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1$

Do $u_{1}=\frac{f(1)}{2}$ nên ta có ngay $u_{n}=\frac{n(2n+1)}{6}+\frac{1}{n+1}$

Bài $6$ với các đa thức bậc $2$ dạng này ta luôn có hệ thức

                                           $P(P(x)+x)=P(x)P(x+1)$ với mọi $x$

Do đó chọn $x=2013$ và $k=P(2013)+2013$ nguyên ta có đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-01-2014 - 20:06

[bangbang1412]

 

Câu 2:

a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:

$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$

b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng:

$$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$

 

Câu 3: Tính các giới hạn sau:

a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$

b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$

(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )

 

 

Bài $2$ : b) Bất đẳng thức tương đương với $8(x+1)^{a}\leq 8+8xa-a(a-1)x^{2}=8+8ax+a(1-a)x^{2}$

Xét hàm số $f(x)=a(1-a)x^{2}+8ax+8-8(x+1)^{a}$ ở đó cố định $a$ ở $(0,1)$ và $x$ ở $[-1,1]$

Xét đạo hàm $f'(x)=2a(1-a)x+8a-8a(x+1)^{a-1}$

Theo bdt $Becnuli$ thì với $r<0$ ta luôn có $(x+1)^{r}\leq 1+rx$ 

Chọn $r=1-a$ Ta có ngay $(x+1)^{a-1}\leq 1+(a-1)x$

Để có $f'(x)\geq 0$ thì ta cần có $(1-a)x+4\geq (x+1)^{a-1}$

Lại để ý do $0<a<1$ nên ta có $(1-a)x+4>(a-1)x+1>(x+1)^{a-1}$ ( theo bdt $Becnuli$)

Do đó hàm số đồng biến  ,ta có $f(x)\geq f(-1)\geq0$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-01-2014 - 21:52

[Mrnhan]

Đề thi tuyển olympic Toán SV Trường ĐH GTVT TPHCM
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a.$ J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$

 

b.$ I_{n}=\int_{-\Pi }^{\Pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$
 

 

Giải:

 

b. $$I_n=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin nx}{\left ( 1+2^x \right )\sin x}dx=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin \left ( -nx \right )}{\left ( 1+2^{-x} \right)\sin\left ( -x \right )}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2^x\sin nx}{\left ( 1+2^x \right )\sin x}dx$$

 

$$\Rightarrow 2I_n=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx=2\int_{0}^{\pi} \frac{\sin nx}{\sin x}dx$$

 

$$\Rightarrow I_n=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx$$

 

Ta có $$\sin nx=\sin\left ( n-2 \right )x+2\sin x\cos\left ( n-1 \right )x$$

 

Nên $$I_n=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\left ( n-2 \right )x}{\sin x}dx+2\int_{0}^{\pi}cos\left ( n-1 \right )xdx=I_{n-2}$$

 

Nếu $$\left\{\begin{matrix} \text{n là số chẵn}\to I_{n}=I_{0}=0\\\text{n là số lẽ}\to I_{n}=I_{1}=\pi\end{matrix}\right.$$

[Mrnhan]

Câu 3: Tính các giới hạn sau:

a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$

 

 

Giải:

 

a. $$A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}=\lim_{x\to 0^+} \left [ \sqrt{\frac{e^{-x}-1}{-x}} -\sqrt{\frac{1-\cos x}{x}}\right ]\sqrt{\frac{x}{\sin x}}=[1-0].1=1$$

[vo van duc]

KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013

 

Môn: ĐẠI SỐ

 

Thờigian: 180 phút

 

 

Câu 1: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp hai. Chứng minh rằng ma trận $C=(AB-BA)^2$ giao hoán với mọi ma trận vuông cấp hai.

 

Câu 2: Cho $U=\left ( 1 \quad \frac{1}{a} \quad \frac{1}{a^2} \quad \frac{1}{a^3} \quad \frac{1}{a^4}\right )$ và $V=\left ( 1 \quad a \quad a^2 \quad a^3 \quad a^4 \right )$ là các ma trận cấp $1\times 5$, trong đó $a\neq 0$, đặt $X=V^{T}U-I_{5}$

 

a) Biểu diễn $X^2$ theo $X$.

 

b) Chứng minh rằng $X$ khả nghịch và tìm $X^{-1}$.

 

Câu 3: Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

 

$$\left\{\begin{matrix} 5x_1 & + & 2x_2 & & & & & & & & & = & 0\\ 2x_1 & + & 5x_2 & + & 2x_3 & & & & & & & = & 0\\ & & & 2x_2 & + & 5x_3 & + & 2x_4 & & & & = & 0\\ & & & . & . & . & . & . & . & . & & & \\ & & & & & & 2x_8 & + & 5x_9 & + & 2x_{10} & = & 0\\ & & & & & & & & 2x_9 & + & 5x_{10} & = & 0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 4: Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ thỏa mãn:

 

$$BA=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$

 

a) Tính $\left ( BA \right )^{2}$, từ đó chứng minh $rank(BA)=2$

 

b) Tính $AB$

 

(Chú ý: Nếu $X,Y$ là các ma trận vuông cùng cấp thì $rank(XY)\leq min\left \{ rankX , rankY \right \}$)

 

Câu 5: Ta gọi vết của ma trận vuông là tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của nó, ký hiệu $tr(X)$ dùng để chỉ vết của ma trận $X$. Cho $A,B,X$ là cácma trận vuông cùng cấp. Chứng minh rằng

 

a) $tr(AB)=tr(BA)$, $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$

 

b) Nếu $tr(XX^{T})=0$ thì $X=O$

 

c) Nếu $tr(AB+A^TB^T)=tr(AA^T+BB^T)$ thì $A=B^T$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-01-2014 - 20:02

[Ispectorgadget]

Câu 2:

a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:

$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$

 

 

Đặt $f(x)= x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}$ ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, dễ thấy $f(0)=-a_n <0$ và do $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ nên tồn tại $x_0 > 0$ sao cho $f(0)f(x_0) <0$.

Theo định lý Bolzano-Cauchy ta có $f(x)=0$ có nghiệm thực dương.

Ta sẽ chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Theo quy tắc dấu Descartes thì số lần đổi dấu của dãy $a_1,a_2,...,a_n$ là 1 nên phương trình có không quá một nghiệm dương.

Vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-01-2014 - 22:33

[Mrnhan]

Câu 3: Tính các giới hạn sau:

 

b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$

(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )

 

 

 

Cho em hỏi thread đề Câu 3-b có sai hay ghi nhầm đề ko ạ?

 

Vì $x\to 0$ thì $\left \lfloor x \right \rfloor=0$ rồi! Em nghĩ đề phải như thế này:

 

Câu 3: Tính các giới hạn sau:

 

b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{ x } \right ] \right ) \right )$

(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )

 

Giải:

 

$$L=\lim_{x\to 0} x^2\left (1+2+\cdots+\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \right )=\lim_{x\to 0} \frac{1}{2}x^2\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor\left ( \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor +1\right )$$

 

Mà

 

$$x-1\leq\left \lfloor x \right \rfloor\leq x$$

 

Nên 

 

$$\frac{1}{2}\leftarrow \frac{1-x}{2}\leq\frac{1}{2}x^2\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor\left ( \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor +1\right )\leq \frac{1+x}{2}\to \frac{1}{2}$$

 

$$\Rightarrow \fbox{$L=\frac{1}{2}$}$$

[anhquannbk]

Câu 5: a) Ta có $ trace(AB)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}b_{ji}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (b_{ji}a_{ij}) =trace(BA)$.

 

$ trace(A+B)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ji})= trace(A)+trace(B) $.

 

b) Ta có $ trace(AA^T) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$.

 

Mà $ trace(AA^T)=O \iff  \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2=0  \iff a_{ij}=0,    \forall i=\overline{1,n}, j=\overline{1,n}.$

Nên $ A=O$

 

c) 

$ trace(AA^{T}+BB^{T})=trace(AB+A^{T}B^{T})$

 $ \iff  \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$

$ \iff \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$

 suy ra $a_{ij}=b_{ji} ,  \forall i=\overline{1,n}, j=\overline{1,n}. $

hay $A=B^T$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 16-11-2017 - 16:17