Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN Trường ĐH GTVT TPHCM

ae giải giúp với olympic toán sinh viên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 03-01-2014 - 09:40

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau:
$$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$
Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$
b) Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$
 
Câu 2:
a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$
b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng:
$$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$
 
Câu 3: Tính các giới hạn sau:
a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$
(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )
 
Câu 4: Cho $f:\left [ -1,1 \right ]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$$
Chứng minh rằng tồn tại  $c\in \left ( -1,1 \right )$ sao cho $f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm $ f$ thỏa các điều kiện trên sao cho $f^{'''}\left ( x \right )=3,\forall x\in \left [ -1,1 \right ].$
 
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a) $J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$
b) $I_{n}=\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\in \mathbb{N} \right )$
 
Câu 6: Cho đa thức $ P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\in \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right ).$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-01-2014 - 12:54


#2 hochoi1323

hochoi1323

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 04-01-2014 - 15:41

Đề thi tuyển olympic Toán SV Trường ĐH GTVT TPHCM
Câu1:Cho dãy số$ \left \{ u_{n} \right \},n \epsilon \mathbb{N}$ được xác định:
$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$
Trong đó$ \alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a.Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$.
b.Tính $\lim_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng$ \lim_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$
Câu 2:
a. Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0$.
b.Cho $\alpha \epsilon \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng: $\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\epsilon \left \lfloor -1,1 \right \rfloor$.
Câu 3:Tính các giới hạn sau:
a. A=$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
b.$B=\lim_{x \to 0}( x^{2}( 1+2+3+...+[ \frac{1}{[ x ]}] ) )$  ( trong đó $ [ x ]$ là phần nguyên của $x$ )
Câu 4: Cho $ f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$
Chứng minh rằng tồn tại $c\epsilon \left ( -1,1 \right )$ sao cho$ f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm f thỏa các điều kiện trên sao cho$ f^{'''}\left ( x \right )=3$,$\forall x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$.
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a.$ J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$
b.$ I_{n}=\int_{-\Pi }^{\Pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$
Câu 6: Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\epsilon \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại k nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right )$.   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 04-01-2014 - 19:17


#3 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 04-01-2014 - 21:18

Câu 5: Tính các tích phân sau:
a.$ J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$

 

Đặt $t=x+3$ ta được

 

$J\left ( t \right )=\int te^{t}.\cos 3t\ dt$

 

Từng phần, ta được:

 

$J(t)=\frac{1}{10}te^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)-\frac{1}{10}\int e^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)\ dt$

 

$J(t)=\frac{1}{10}te^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)-\frac{1}{100}e^{t}(\cos 3t+3\sin 3t)+\frac{3}{20}e^{t}(\cos 3t-\ sin 3t)$

 

P/S: Bài làm chỉ mang tính tham khảo, có thể sai sót trong quá trình tính toán :P


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#4 hochoi1323

hochoi1323

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 04-01-2014 - 22:51

t= x+3 => x=t-3 chứ bạn



#5 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 05-01-2014 - 09:11

có đề đại số không bạn :)


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#6 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1525 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 05-01-2014 - 20:01

 

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \},n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau:
$$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$$
Trong đó $\alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a) Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}.$
 
 

 

 

Bài $1$ , a) Ta tìm luôn công thức tổng quát của $u_{n}$ khi $a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$

Trước hết ta chứng minh được dãy $u_{n}$ là hữu tỷ với mọi $n$ , đặt $u_{n}=\frac{f(n)}{n+1}$ với $f(n)$ là một hàm nào đó

Ta có $\frac{f(n)}{n+1}=\frac{n}{n+1}\frac{f(n-1)}{n}+\frac{n^{2}}{n+1}$ hay $f(n)-f(n-1)=n^{2}$

Ta có $f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+........+f(2)-f(1)=n^{2}+.....+2^{2}+1-1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1$

Hay $f(n)=f(1)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-1$

Do $u_{1}=\frac{f(1)}{2}$ nên ta có ngay $u_{n}=\frac{n(2n+1)}{6}+\frac{1}{n+1}$

Bài $6$ với các đa thức bậc $2$ dạng này ta luôn có hệ thức

                                           $P(P(x)+x)=P(x)P(x+1)$ với mọi $x$

Do đó chọn $x=2013$ và $k=P(2013)+2013$ nguyên ta có đpcm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-01-2014 - 20:06

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1525 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 05-01-2014 - 21:46



 
Câu 2:
a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$
b)Cho $\alpha \in \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng:
$$\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\in \left \lfloor -1,1 \right \rfloor.$$
 
Câu 3: Tính các giới hạn sau:
a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$
(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )
 
 

Bài $2$ : b) Bất đẳng thức tương đương với $8(x+1)^{a}\leq 8+8xa-a(a-1)x^{2}=8+8ax+a(1-a)x^{2}$

Xét hàm số $f(x)=a(1-a)x^{2}+8ax+8-8(x+1)^{a}$ ở đó cố định $a$ ở $(0,1)$ và $x$ ở $[-1,1]$

Xét đạo hàm $f'(x)=2a(1-a)x+8a-8a(x+1)^{a-1}$

Theo bdt $Becnuli$ thì với $r<0$ ta luôn có $(x+1)^{r}\leq 1+rx$ 

Chọn $r=1-a$ Ta có ngay $(x+1)^{a-1}\leq 1+(a-1)x$

Để có $f'(x)\geq 0$ thì ta cần có $(1-a)x+4\geq (x+1)^{a-1}$

Lại để ý do $0<a<1$ nên ta có $(1-a)x+4>(a-1)x+1>(x+1)^{a-1}$ ( theo bdt $Becnuli$)

Do đó hàm số đồng biến  ,ta có $f(x)\geq f(-1)\geq0$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-01-2014 - 21:52

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#8 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 16-01-2014 - 20:59

Đề thi tuyển olympic Toán SV Trường ĐH GTVT TPHCM
Câu 5: Tính các tích phân sau:
a.$ J\left ( x \right )=\int \left ( x+3 \right )e^{x}cos3xdx$

 

b.$ I_{n}=\int_{-\Pi }^{\Pi }\frac{sinnx}{\left ( 1+2^{x} \right )sinx}dx \left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$
 

 

Giải:

 

b. $$I_n=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin nx}{\left ( 1+2^x \right )\sin x}dx=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin \left ( -nx \right )}{\left ( 1+2^{-x} \right)\sin\left ( -x \right )}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2^x\sin nx}{\left ( 1+2^x \right )\sin x}dx$$

 

$$\Rightarrow 2I_n=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx=2\int_{0}^{\pi} \frac{\sin nx}{\sin x}dx$$

 

$$\Rightarrow I_n=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx$$

 

Ta có $$\sin nx=\sin\left ( n-2 \right )x+2\sin x\cos\left ( n-1 \right )x$$

 

Nên $$I_n=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\left ( n-2 \right )x}{\sin x}dx+2\int_{0}^{\pi}cos\left ( n-1 \right )xdx=I_{n-2}$$

 

Nếu $$\left\{\begin{matrix} \text{n là số chẵn}\to I_{n}=I_{0}=0\\\text{n là số lẽ}\to I_{n}=I_{1}=\pi\end{matrix}\right.$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#9 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 16-01-2014 - 21:23



Câu 3: Tính các giới hạn sau:

a) $A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}$
 

 

Giải:

 

a. $$A=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-cosx}}{\sqrt{sinx}}=\lim_{x\to 0^+} \left [ \sqrt{\frac{e^{-x}-1}{-x}} -\sqrt{\frac{1-\cos x}{x}}\right ]\sqrt{\frac{x}{\sin x}}=[1-0].1=1$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#10 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2014 - 19:45

KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013

 

Môn: ĐẠI SỐ

 

Thờigian: 180 phút

 

 

Câu 1: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp hai. Chứng minh rằng ma trận $C=(AB-BA)^2$ giao hoán với mọi ma trận vuông cấp hai.

 

Câu 2: Cho $U=\left ( 1 \quad \frac{1}{a} \quad \frac{1}{a^2} \quad \frac{1}{a^3} \quad \frac{1}{a^4}\right )$ và $V=\left ( 1 \quad a \quad a^2 \quad a^3 \quad a^4 \right )$ là các ma trận cấp $1\times 5$, trong đó $a\neq 0$, đặt $X=V^{T}U-I_{5}$

 

a) Biểu diễn $X^2$ theo $X$.

 

b) Chứng minh rằng $X$ khả nghịch và tìm $X^{-1}$.

 

Câu 3: Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

 

$$\left\{\begin{matrix} 5x_1 & + & 2x_2 & & & & & & & & & = & 0\\ 2x_1 & + & 5x_2 & + & 2x_3 & & & & & & & = & 0\\ & & & 2x_2 & + & 5x_3 & + & 2x_4 & & & & = & 0\\ & & & . & . & . & . & . & . & . & & & \\ & & & & & & 2x_8 & + & 5x_9 & + & 2x_{10} & = & 0\\ & & & & & & & & 2x_9 & + & 5x_{10} & = & 0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 4: Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ thỏa mãn:

 

$$BA=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$

 

a) Tính $\left ( BA \right )^{2}$, từ đó chứng minh $rank(BA)=2$

 

b) Tính $AB$

 

(Chú ý: Nếu $X,Y$ là các ma trận vuông cùng cấp thì $rank(XY)\leq min\left \{ rankX , rankY \right \}$)

 

Câu 5: Ta gọi vết của ma trận vuông là tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của nó, ký hiệu $tr(X)$ dùng để chỉ vết của ma trận $X$. Cho $A,B,X$ là cácma trận vuông cùng cấp. Chứng minh rằng

 

a) $tr(AB)=tr(BA)$, $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$

 

b) Nếu $tr(XX^{T})=0$ thì $X=O$

 

c) Nếu $tr(AB+A^TB^T)=tr(AA^T+BB^T)$ thì $A=B^T$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-01-2014 - 20:02

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#11 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2936 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-01-2014 - 22:31


Câu 2:
a) Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0.$$

 

 

Đặt $f(x)= x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}$ ta có $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, dễ thấy $f(0)=-a_n <0$ và do $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ nên tồn tại $x_0 > 0$ sao cho $f(0)f(x_0) <0$.

Theo định lý Bolzano-Cauchy ta có $f(x)=0$ có nghiệm thực dương.

Ta sẽ chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Theo quy tắc dấu Descartes thì số lần đổi dấu của dãy $a_1,a_2,...,a_n$ là 1 nên phương trình có không quá một nghiệm dương.

Vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-01-2014 - 22:33

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#12 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 20-01-2014 - 22:51



Câu 3: Tính các giới hạn sau:

 
b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$
(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )
 

 

 

Cho em hỏi thread đề Câu 3-b có sai hay ghi nhầm đề ko ạ?

 

Vì $x\to 0$ thì $\left \lfloor x \right \rfloor=0$ rồi! Em nghĩ đề phải như thế này:

 


Câu 3: Tính các giới hạn sau:


 
b) $B=\lim_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{ x } \right ] \right ) \right )$
(trong đó $\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$ )

 

Giải:

 

$$L=\lim_{x\to 0} x^2\left (1+2+\cdots+\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor \right )=\lim_{x\to 0} \frac{1}{2}x^2\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor\left ( \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor +1\right )$$

 

 

$$x-1\leq\left \lfloor x \right \rfloor\leq x$$

 

Nên 

 

$$\frac{1}{2}\leftarrow \frac{1-x}{2}\leq\frac{1}{2}x^2\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor\left ( \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor +1\right )\leq \frac{1+x}{2}\to \frac{1}{2}$$

 

$$\Rightarrow \fbox{$L=\frac{1}{2}$}$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#13 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 16-11-2017 - 16:17

Câu 5: a) Ta có $ trace(AB)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}b_{ji}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (b_{ji}a_{ij}) =trace(BA)$.

 

$ trace(A+B)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ji})= trace(A)+trace(B) $.

 

b) Ta có $ trace(AA^T) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$.

 

Mà $ trace(AA^T)=O \iff  \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2=0  \iff a_{ij}=0,    \forall i=\overline{1,n}, j=\overline{1,n}.$

Nên $ A=O$

 

c) 

$ trace(AA^{T}+BB^{T})=trace(AB+A^{T}B^{T})$

 $ \iff  \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$

$ \iff \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$

 suy ra $a_{ij}=b_{ji} ,  \forall i=\overline{1,n}, j=\overline{1,n}. $

hay $A=B^T$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 16-11-2017 - 16:17






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh