Ta có:$y_{n}=\frac{x_{n-1}}{x_{n}}(1)$
Dễ thấy $y_{2}> y_{1}$.
Ta chứng minh $(y_{n})$ là dãy tăng.
Giả sử,mệnh đề trên đúng tới $n=k$ hay $y_{k+1}> y_{k}$.Giờ ta chứng minh $y_{k+2}> y_{k+1}$
Ta có $y_{k+1}> y_{k}> y_{k-1}> ...> y_{1}$
$x^{2}_{k+2}+y_{k+1}=x^{2}_{k+1}+y_{k}=2$
$\Rightarrow x_{k+2}<x_{k+1}< ...< x_{1}=1$
Ta có:$x^{2}_{k+1}+y_{k}=2\Leftrightarrow x^{2}_{k+2}y^{2}_{k+2}=2-y_{k}$
$y^{2}_{k+2}=\frac{x^{2}_{k+2}}{2-y_{k}}(2)$.
Ta cần chứng minh $y^{2}_{k+2}> y^{2}_{k+1}(3)$
Thay (2) và (1) lần lượt vào 2 vế của (3),ta được:
$2x^{2}_{k+1}>x^{3}_{k}x^{2}_{k+2}+x^{2}_{k+1}x_{k-1}$
Điều này luôn đúng vì $x_{k+2}< x_{k+1};x_{k},x_{k-1}<1$.
Vậy ta có điều phải chứng minh và ta suy luôn ra được $(x_{n})$ là dãy giảm
Ta có $(y_{n})$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $2$ ...
Ta có $(x_{n})$ là dãy giảm bị chặn trên bởi $0$ ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 03-01-2014 - 21:44