Đến nội dung

Hình ảnh

[VMO 2014] Ngày 1 - Bài 1 - DÃY SỐ

- - - - - vmo2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
phatthientai

phatthientai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

$\boxed{\text{Bài 1}}$

 

Cho hai dãy số thực dương $({{x}_{n}}),({{y}_{n}})$ xác định bởi ${{x}_{1}}=1,{{y}_{1}}=\sqrt{3}$ và $$\left\{ \begin{align}
  & {{x}_{n+1}}{{y}_{n+1}}-{{x}_{n}}=0 \\
 & x_{n+1}^{2}+{{y}_{n}}=2 \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n=1,2,3,...$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-01-2014 - 21:19


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Sao đề thi năm nay lại không có HPT nhỉ



#3
thienhg

thienhg

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Câu này mình đặt x1, y1 theo sin và cos rồi chứng minh quy nạp ra CTTQ, sau đó tính đc giới hạn :-D

#4
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA
MÔN TOÁN NĂM 2014
Thời gian làm bài: 180 phút.
Ngày thi thứ nhất (03/01/2014)

Bài 1. (5 điểm) Cho 2 dãy số thực dương $(x_{n}),(y_{n})$ xác định bởi $x_{1}=1,y_{1}=\sqrt{3}$

$$\left\{\begin{matrix} x_{n+1}y_{n+1}-x_{n}=0\\x_{n+1}^2+y_{n} =2 \end{matrix}\right.\forall n=1,2,3$$

Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Từ giả thiết ta suy ra :

$$\left\{\begin{matrix} x_1=2\sin {\frac {\pi}{6}}, &y_1=2\cos {\frac {\pi}{6}} \\ x_{n+1}=\sqrt{2-y_n} & \\ y_{n+1}=\frac {x_n}{x_{n+1}} & \end{matrix}\right.$$

Từ đó, bằng quy nạp ta chứng minh được $$\left\{\begin{matrix} x_n=2\sin {\frac {\pi}{3.2^n}}\\ y_n=2\cos {\frac {\pi}{3.2^n}} \end{matrix}\right.$$

Do $\cos x$ nghịch biến trên $(0; \pi)$ nên ta suy ra $(y_n)$ tăng. Mặt khác, $(y_n)$ bị chặn trên bởi $2$ nên nó hội tụ.

Tương tự, do $\sin x$ đồng biến trên $(0; \pi)$ nên $(x_n)$ giảm và bị chặn dưới bới $0$ nên cũng hội tụ.

Do tính liên tục của $\cos x$ và $\sin x$ nên ta suy ra

$$\lim x_n = \lim 2\sin {\frac {\pi}{3.2^n}}=2\sin \lim {\frac {\pi}{3.2^n}}= 2\sin 0 = 0$$

$$\lim y_n = \lim 2\cos {\frac {\pi}{3.2^n}}=2\cos \lim {\frac {\pi}{3.2^n}}= 2\cos 0 = 2$$

 


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 03-01-2014 - 16:12


#5
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Câu này có ai chứng mình dãy tăng giảm không? Mình giải theo cách này mà không biết có đúng không ? ( Đọc thấy cũng đúng, không biết người chấm thấy sao :D ) .

 

Tư tưởng là $(x_n)$ giảm bị chặn dưới tại 1 ( quan trọng nhất là chứng minh $x_n<1$) .

=> dãy $x_n$ hội tụ => $y_n$ cũng hội tụ.

Từ đó dễ thấy $limx_n=0$ , $limy_n=2$ .

 

Bài này thì mình thấy : QUY NẠP MUÔN NĂM.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#6
ducthinh26032011

ducthinh26032011

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Ta có:$y_{n}=\frac{x_{n-1}}{x_{n}}(1)$

Dễ thấy $y_{2}> y_{1}$.

Ta chứng minh $(y_{n})$ là dãy tăng.

Giả sử,mệnh đề trên đúng tới $n=k$ hay $y_{k+1}> y_{k}$.Giờ ta chứng minh $y_{k+2}> y_{k+1}$

Ta có $y_{k+1}> y_{k}> y_{k-1}> ...> y_{1}$

$x^{2}_{k+2}+y_{k+1}=x^{2}_{k+1}+y_{k}=2$

$\Rightarrow x_{k+2}<x_{k+1}< ...< x_{1}=1$

Ta có:$x^{2}_{k+1}+y_{k}=2\Leftrightarrow x^{2}_{k+2}y^{2}_{k+2}=2-y_{k}$

$y^{2}_{k+2}=\frac{x^{2}_{k+2}}{2-y_{k}}(2)$.

Ta cần chứng minh $y^{2}_{k+2}> y^{2}_{k+1}(3)$

Thay (2) và (1) lần lượt vào 2 vế của (3),ta được:

$2x^{2}_{k+1}>x^{3}_{k}x^{2}_{k+2}+x^{2}_{k+1}x_{k-1}$

Điều này luôn đúng vì $x_{k+2}< x_{k+1};x_{k},x_{k-1}<1$.

Vậy ta có điều phải chứng minh và ta suy luôn ra được $(x_{n})$ là dãy giảm

Ta có $(y_{n})$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $2$ ...

Ta có $(x_{n})$ là dãy giảm bị chặn trên bởi $0$ ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 03-01-2014 - 21:44

Hình đã gửi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo2014

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh