3 replies to this topic

[phatthientai]

$\boxed{\text{Bài 3}}$

 

Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.

a. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B).$

b. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14.$ Biết rằng hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được nhau qua một phép quay quanh tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Edited by Ispectorgadget, 03-01-2014 - 21:26.

[LNH]

Chém câu dễ trước

a.

Nhận xét: $A-B=const=55$

Ta có thể dễ dàng cm nhận xét trên bằng cách chia nhỏ trường hợp

Từ đây ta suy ra có tất cả $24$ cặp thoả mãn là $\left ( 55,0 \right );...;\left ( 78,23 \right )$

[LNH]

b.

Ta đánh số 24 đỉnh được tô màu xanh là $1,2,...,24$

Gọi $a_i$ là khoảng cách giữa đỉnh $i$ và đỉnh $i+1$ ($i=24$ thì $i+1=1$) với đơn vị là $\frac{2}{13} \pi$

Ta có:

$a_1+.a_2+..+a_{24}=103$

Có $C_{24}^{10}$ cách chọn ra 10 số không có giá trị là $1$

$10$ số này có tổng là $89$ và luôn lớn hơn hoặc bằng $2$

Từ đây đưa về bài toán chia kẹo Euler ta suy ra có $C_{78}^{9}$ cách chọn

Ngoài ra, có 24 phép quay biến đỉnh thứ $1$ thành các đỉnh thứ $1,2,...,24$ mà cấu hình đều giống nhau

Vậy có tổng cộng $\frac{C_{24}^{10}.C_{78}^{9}}{24}$ cách tô thoả mãn ycđb

Edited by LNH, 03-01-2014 - 21:44.

[namcpnh]

Câu 3a :

 

Cho các đỉnh không nằm trong nhau khi đó (A,B) là (78,23 ) sau đó cho 1 xanh vào thì A, B cùng giảm 1, cho 2 xanh vào thì 1 là cả 2 cùng giảm 2 hoặc cả 2 cùng giảm 1 , cứ thể ta được KQ (A,B)=(79−k,24−k) với k=1,2,3,...,24.

Giải thích đơn giản cho TH 2 x vào đỏ là :nếu cho 2 điểm xanh vào thì :

+ 2 x canh nhau thì giữ nguyên.

+2 xanh ko canh nhau thì cùng giảm 1.