Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[VMO 2014] Ngày 1 - Bài 3 - Tổ hợp

vmo2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 phatthientai

phatthientai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 03-01-2014 - 11:46

$\boxed{\text{Bài 3}}$

 

Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
a. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B).$
b. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14.$ Biết rằng hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được nhau qua một phép quay quanh tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-01-2014 - 21:26


#2 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 03-01-2014 - 12:25

Chém câu dễ trước :luoi:

a.

Nhận xét: $A-B=const=55$

Ta có thể dễ dàng cm nhận xét trên bằng cách chia nhỏ trường hợp

Từ đây ta suy ra có tất cả $24$ cặp thoả mãn là $\left ( 55,0 \right );...;\left ( 78,23 \right )$



#3 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 03-01-2014 - 13:51

b.

Ta đánh số 24 đỉnh được tô màu xanh là $1,2,...,24$

Gọi $a_i$ là khoảng cách giữa đỉnh $i$ và đỉnh $i+1$ ($i=24$ thì $i+1=1$) với đơn vị là $\frac{2}{13} \pi$

Ta có:

$a_1+.a_2+..+a_{24}=103$

Có $C_{24}^{10}$ cách chọn ra 10 số không có giá trị là $1$

$10$ số này có tổng là $89$ và luôn lớn hơn hoặc bằng $2$

Từ đây đưa về bài toán chia kẹo Euler ta suy ra có $C_{78}^{9}$ cách chọn

Ngoài ra, có 24 phép quay biến đỉnh thứ $1$ thành các đỉnh thứ $1,2,...,24$ mà cấu hình đều giống nhau

Vậy có tổng cộng $\frac{C_{24}^{10}.C_{78}^{9}}{24}$ cách tô thoả mãn ycđb


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 03-01-2014 - 21:44


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-01-2014 - 19:08

Câu 3a :

 

Cho các đỉnh không nằm trong nhau khi đó (A,B) là (78,23 ) sau đó cho 1 xanh vào thì A, B cùng giảm 1, cho 2 xanh vào thì 1 là cả 2 cùng giảm 2 hoặc cả 2 cùng giảm 1 , cứ thể ta được KQ (A,B)=(79−k,24−k) với k=1,2,3,...,24.
Giải thích đơn giản cho TH 2 x vào đỏ là :nếu cho 2 điểm xanh vào thì :
+ 2 x canh nhau thì giữ nguyên.
+2 xanh ko canh nhau thì cùng giảm 1.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo2014

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh