Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[VMO 2014] Ngày 1 - BÀI 4 - HÌNH HỌC PHẲNG

vmo2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 phatthientai

phatthientai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 03-01-2014 - 11:48

$\boxed{\text{Bài 4}}$

 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$

a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-01-2014 - 21:22


#2 ilovemath97

ilovemath97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thừa Thiên Huế

Đã gửi 03-01-2014 - 11:53

Câu này thật nhảm, chắc ai cũng làm đc hoặc ít nhất là câu a

Caaub kéo dài $PK$ cắt đường tròn tại $T$ xong c/m $ATDK$ là hình bình hành quá nhẹ nhàng chỉ bằng biến đổi góc.


VMO 2014 đánh dấu chuỗi ngày buồn vì thất bại. Không sao cả! VMO 2015 đợi mình nhé


#3 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-01-2014 - 12:12

Bài hình dễ nhưng hay gây ngộ nhận,và quan trọng là trình bày chặt chẽ không mất điểm.

Cả hai câu biến đổi góc là ra nhưng xài góc định hướng.


  • LNH yêu thích

:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#4 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-01-2014 - 14:50



 

Bài 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$

 

Ảnh chụp màn hình_2014-01-03_144227.png

a, Lấy $J$ là tâm nội tiếp của $\triangle ABC$, theo một kết quả quen thuộc, ta có $IJ = IB = IC = IK$ nên $BJKC:tgnt$

Từ đó dễ có $AI \perp BK$, vậy $E$ là trung điểm của $BK$. Do vai trò của $A, D$ tr0ng $(O)$ là như nhau nên hoàn toàn tương tự ta có $F$ là trung điểm $KC$. Dẫn tới $EF$ là đường trung bình $\triangle KBC$

$\Rightarrow EF = \dfrac{BC}{2}$

b, Từ câu a, ta có $K$ là trực tâm của $\triangle AID$, vậy đường thẳng qua $K$ song song với $AD$ (kí hiệu là tia $Kx$) sẽ là tiếp tuyến của $(I)$

Trong tam giác $KIC$, ta có $\angle KIM = \angle KBC = \angle DAC = \angle KCM$ nên $M$ là trực tâm của $\triangle KIC$.

Vậy $\angle IPK = \angle IPB + \angle BPK = \angle BNK + \angle ICB = 90^\circ$.

Kéo dài $KP$ cắt $(I)$ tại $L$, do $\left\{\begin{matrix} IP \perp KL\\ Kx \ \text{tiếp xúc} (I) \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow BKCL$ là tứ giác điều hòa

$\Rightarrow K(KCBL) = -1$

$\Rightarrow K(ADPT) = -1$ (với $T$ là giao điểm của $Kx$ với $BC$ )

Mà $KT \parallel AD$ nên ta có $KP$ đi qua trung điểm của $AD$ $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-01-2014 - 23:34

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#5 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 03-01-2014 - 15:49

em xin lỗi hồi trưa em vẽ bằng tay nên ko đăng hình được ạ!

a) ta có : $\angle ABI=\frac{1}{2}sd AI=180-\angle KCI=180-\angle KIC=\angle AKI$

=> E là trung điểm AI 

tương tự F là trung diểm KC 

=> dpcm

b) dễ dàng thấy K là trực tâm tam giác ABC => IK vuông góc AD 

ta c/m: M là trực tâm tam giác KIC

ta có: IM vuông góc KC( theo câu a)

mà IK vuông góc AD và AD//CM 

=> IK vuông góc CM

=>M là trực tâm tam giác KIC

=> $\angle KPI=\angle BPI+\angle BPK = \angle BNK + \angle ICB=\angle MCN+\angle NMC +\angle ICB=\angle MCI+\angle KIC=90$

Kéo dái PK cắt (O) tại Q => QI là đường kính đường tròn (O)

Từ một bài toán quen thuộc ta có tam giác ADI nhận K là trực tâm,IQ là đường kính => KQ đi qua trung điểm AD (Do AQDK là HBH)

=> dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 03-01-2014 - 17:55


#6 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-01-2014 - 23:39

Bài làm trên của mình có ngộ nhận đôi chút là $BC, IP, Kx$ đồng quy. Nhưng thực chất chứng minh cái này cũng không khó cho lắm.

Gọi giao điểm của $KM$ với $IC$ là $U$. $V$ là trung điểm của $IK$ thì ta có $Kx, BC, IP$ là trục đẳng phương của 3 đường tròn $(O), (I), (V)$ nên chúng đồng quy :)


  • LNH yêu thích
"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#7 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-01-2014 - 09:46

Mình làm theo cách của mình .Hình vẽ của bạn http://diendantoanho...77-blackselena/ và Nối PK cắt đường tròn (O) tại G ,cắt AD tại Q

Câu a: Ta có :$IK=IC=IB$$= > I$ là tâm đường tròn $(BKC)= > \widehat{KIC}=2\widehat{KBC}=2\widehat{DBC}=2\widehat{FIC}= > \widehat{KIF}=\widehat{FIC},IK=IC= > KF=FC$

Tương tự $KE=BE$

Do đó EF là đường trung bình tam giác $BKC= > EF=\frac{BC}{2}$

Câu b: Do M thuộc trung trực KC $= > \widehat{MKC}=\widehat{MCK}=\widehat{MCA}=\widehat{CAD}=\widehat{KBC}$(Do $CM$ song song AD )(1)

 Mà theo tính chất góc nội tiếp có :$\widehat{MKP}=\widehat{NKP}=\widehat{PBC}$(2)

Từ (1),(2) $= > \widehat{AKG}=\widehat{PKC}=\widehat{KBP}=\widehat{DBP}=\widehat{PGD}= > AK$ song song $DG$(3)

$= > \widehat{GDK}=\widehat{AKD}=\widehat{ADK}$

Mà $ABDG$ là tứ giác nội tiếp nên ABDG là hình thang cân hay  DG=AB=AK(4)

Từ (3) và (4) dẫn tới AKDG là hình bình hành hay Q là trung điểm của AD

 Suy ra PK đi qua trung điểm Q của AD

  (Chắc các men KHTN là ngon bài này rùi......)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 04-01-2014 - 09:48


#8 haitienbg

haitienbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Xem phim, Đọc truyện, Cờ vua, $Geometry$

Đã gửi 04-01-2014 - 21:00

Câu này thật nhảm, chắc ai cũng làm đc hoặc ít nhất là câu a

Caaub kéo dài $PK$ cắt đường tròn tại $T$ xong c/m $ATDK$ là hình bình hành quá nhẹ nhàng chỉ bằng biến đổi góc.

cách khác câu b:

Do $AK,DK$ tương ứng vuông góc $ID,IA$ nên $K$ là trực tâm tam giác$IAD$

nên nếu gọi $X$ là trung điểm $AD$; $KX$ cắt $(O)$ tại$Y,P'$($Y$ cùng phía với $A$ bờ $BC$)

có $AKDY$ là hbh và $Y$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$   (*)

Ta cm $BKNP': nt$

Thật vậy theo gt thì $M$ là trực tâm tg $IKC$ gọi $L$ là giao $KM$ với $(O)$

góc $KNB=LNC=90^0-BCI=KP'B$

cm xong

Hình gửi kèm

  • vmo.png

......Không có việc gì là không thể......... 

           = ====== NVT ====== =






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo2014

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh