Bài 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$
a, Lấy $J$ là tâm nội tiếp của $\triangle ABC$, theo một kết quả quen thuộc, ta có $IJ = IB = IC = IK$ nên $BJKC:tgnt$
Từ đó dễ có $AI \perp BK$, vậy $E$ là trung điểm của $BK$. Do vai trò của $A, D$ tr0ng $(O)$ là như nhau nên hoàn toàn tương tự ta có $F$ là trung điểm $KC$. Dẫn tới $EF$ là đường trung bình $\triangle KBC$
$\Rightarrow EF = \dfrac{BC}{2}$
b, Từ câu a, ta có $K$ là trực tâm của $\triangle AID$, vậy đường thẳng qua $K$ song song với $AD$ (kí hiệu là tia $Kx$) sẽ là tiếp tuyến của $(I)$
Trong tam giác $KIC$, ta có $\angle KIM = \angle KBC = \angle DAC = \angle KCM$ nên $M$ là trực tâm của $\triangle KIC$.
Vậy $\angle IPK = \angle IPB + \angle BPK = \angle BNK + \angle ICB = 90^\circ$.
Kéo dài $KP$ cắt $(I)$ tại $L$, do $\left\{\begin{matrix} IP \perp KL\\ Kx \ \text{tiếp xúc} (I) \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow BKCL$ là tứ giác điều hòa
$\Rightarrow K(KCBL) = -1$
$\Rightarrow K(ADPT) = -1$ (với $T$ là giao điểm của $Kx$ với $BC$ )
Mà $KT \parallel AD$ nên ta có $KP$ đi qua trung điểm của $AD$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-01-2014 - 23:34