Đề bài: Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên không âm $m,n,N,k$ thoả mãn
\[(n^2+1)^{2^k}\cdot(44n^3+11n^2+10n+2)=N^m \qquad (1) \]
thì $m=1$.
Toán thủ ra đề: Jinbe
$MSS: 27$: Không gặp dạng này nên lời giải của em còn dài dòng và lượm thượm.
Lời giải:
Giả sử đề bài đúng .
Vì m;n;N;k đều $\in \mathbb{N}$
$\triangleright$ Xét $k=0$ $\Rightarrow$ $(n^{2}+1)^{2^{k}}=n^{2}+1$ : có lũy thừa bậc cao nhất là chẵn ( ở đây $=2$)
$\triangleright$ Xét $k \in \mathbb{Z}^{+}$ $\Rightarrow$$2^{k}$ luôn là số chẵn $\Rightarrow (n^{2}+1)^{2^{k}}$ có lũy thừa bậc cao nhất là số chẵn.
Mà $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ là biểu thức bậc ba (bậc lẻ) với số mũ tự nhiên giảm dần và có hệ số tự do
$\Rightarrow A=(n^2+1)^{2^k}\cdot(44n^3+11n^2+10n+2)$ : là một biểu thức có bậc cao nhất là số lẻ với số mũ tự nhiên giảm dần đến $1$ và có hệ số tự do. $(*)$
$\star$ Chứng minh bổ đề phụ :
Với $a$ và $b$ ( giả sử $a > b$) là $2$ số tự nguyên dương liên tiếp, thì $a.q$ và $b.q$ không thể là $2$ số nguyên dương liên tiếp ( $\forall q\in \mathbb{N}$,$q$ lẻ, $q\geq 3$)
Thật vậy, rất đơn giản, với điều giả sử $a>b$ mà $a,b$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp $\Rightarrow$$a-b=1$.
Mà $a.q-b.q=(a-b).q=1.q>1$.Vậy $a.q$ và $b.q$ không thể là $2$ số tự nhiên liên tiếp .
$\Rightarrow$ bổ đề đã được chứng minh.
$\star$Áp dụng bổ đề trên:
$\Rightarrow$$A$ không thể viết dưới dạng $1$ biểu thức có lũy thừa dạng $m=2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}^{+}$), vì các số mũ của $A$ đều là số tự nhiên và được sắp xếp theo thứ tự giảm dần ( chứng minh ở $(*)$). Nếu ta xem $a,b$ trong bổ đề vừa chứng minh là từng cặp số mũ trong biểu thức $N$ thì $N^{2k+1}$ viết ra dưới dạng $A$ các cặp số mũ của biểu thức a dưới dạng $a.m;b.m$ sẽ không liên tiếp.
$\Rightarrow$ trái với $(*)$.
Vậy $\forall m$ có dạng $2k+1$($k \in \mathbb{Z}^{+}$) không thể thỏa $(1)$. Loại.
$\star$Đơn giản hơn với $m=2k$ ($k \in \mathbb{Z}^{+}$) =>$N^{m}=A$ có bậc cao nhất là bậc chẵn. Trái với $(*)$.
Vậy $\forall m$ có dạng $2k$($k \in \mathbb{Z}^{+}$) không thể thỏa $(1)$. Loại.
$\bigstar$Vậy biểu thức $A$ chỉ có thể là chính nó và bằng $N$ để thỏa $(1)$.
Hay nói cách khác : $A = N^{1}$ $\Rightarrow m = 1$.
$\bigstar$Kết thúc chứng minh..Đề bài hoàn toàn đúng.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mở rộng : Em không quen viết dạng các số mũ giảm dần theo quy luật nên đành viết bằng lời, còn các công thức tổng quát ở dưới đề minh họa, em tự nghĩ nên chắc là sai mong các thầy thông cảm.. Em sẽ cố gắng khắc phục nhanh nhất. Và mong các thầy chỉnh giúp em..
Lời:
$1$: Nếu tích của lũy thừa bậc chẵn của một số nguyên không âm với một biểu thức có lũy thừa bậc cao nhất bậc là lẻ với các số mũ tự nhiên liên tiếp giàm dần ( có hoặc không có hệ số tự do) bằng một biểu thức $N$ với số mũ không âm $m$, thì $m=1$.
$2$: Nếu tích của lũy thừa bậc lẻ của một số nguyên không âm với một biểu thức có lũy thừa bậc cao nhất bậc là chẵn với các số mũ tự nhiên liên tiếp giảm dần (có hoặc không có hệ số tự do) bằng một biểu thức $N$ với số mũ không âm $m$, thì $m=1$
$3$: Nếu tích của một biểu thức có lũy thừa bậc cao nhất là chẵn với các số mũ tự nhiên liên tiếp giàm dần ( có hoặc không có hệ số tự do) với một biểu thức có lũy thừa bậc cao nhất bậc là lẻ với các số mũ tự nhiên liên tiếp giàm dần ( có hoặc không có hệ số tự do) bằng một biểu thức $N$ với số mũ không âm $m$, thì $m=1$.
$4$: Nếu tích của một biểu thức có lũy thừa bậc cao nhất là lẻ với các số mũ tự nhiên liên tiếp giàm dần ( có hoặc không có hệ số tự do) với một biểu thức có lũy thừa bậc cao nhất bậc là chẵn với các số mũ tự nhiên liên tiếp giàm dần ( có hoặc không có hệ số tự do) bằng một biểu thức $N$ với số mũ không âm $m$, thì $m=1$.
(Với giá trị của biểu thức $N$ không âm).
Công thức tổng quát:
Nếu tồn tại các số nguyên không âm $m,n,N,$ , $k \in \mathbb{N}^{*}$và $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{u-1};a_{u};a_{1'};a_{2'};a_{3'};...;a_{u-2'};a_{u-1'};a_{u'},\forall u\in \mathbb{N}^{*}$ là các hệ số, thì:
$1$: $x^{2k}(a_{1}x^{2k+1}+a_{2}x^{2k}+a_{3}x^{2k-1}+...+a_{u-2}x^{k}+a_{u-1}x+a_{u})=N^{m}$ thì $m=1$
$2$: $x^{2k+1}(a_{1}x^{2k}+a_{2}x^{2k-1}+a_{3}x^{2k-2}+...+a_{u-2}x^{k}+a_{u-1}x+a_{u})=N^{m}$ thì $m=1$
$3$:$(a_{1}x^{2k}+a_{2}x^{2k-1}+...+a_{u-2}x^{k}+a_{u-1}x+a_{u})(a_{1'}x^{2k+1}+a_{2'}x^{2k}+a_{3'}x^{2k-1}+...+a_{u-2'}x^{k}+a_{u-1'}x+a_{u'})=N^{m}$ thì $m=1$
$4$: $(a_{1}x^{2k+1}+a_{2}x^{2k}+a_{3}x^{2k-1}+...+a_{u-2}x^{k}+a_{u-1}x+a_{u'})(a_{1'}x^{2k}+a_{2'}x^{2k-1}+...+a_{u-2'}x^{k}+a_{u-1'}x+a_{u})=N^{m}$ thì $m=1$
Chứng minh:
Với mọi giá trị không âm của $k$ thì đề bài gốc ở trên cùng chính xác . Hay với mọi giá trị dương của $k$ thì $2^{k}$ luôn chẵn. Từ đó cho ta mở rộng $1$ và $2$.
Tổng quát hơn nữa, nếu $n^{2}+1$ là một biểu thức dài hơn, bậc chẵn cao hơn thì đề bài gốc ở trên cùng vẫn đúng. Hoán đổi biểu thức bậc chẵn và biểu thức bậc lẻ cho ta mở rộng $2$ và $3$.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
P/s: Viết bài dài nên còn nhiều sai sót mặc dù đã rất cố gắng. Mong các thầy thông cảm. Hì!
Điểm bài : 10đ ( mở rộng không có giá trị nên không chấm )
S = 15.6 + 3*10 = 45.6
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-01-2014 - 16:43
Tổng hợp điểm