*Nếu $x=0$: $(*)\Leftrightarrow 2.4=0$ (Vô lí!)
*Nếu $x\neq 0$: Chia 2 vế của $(*)$ cho $x^3$ ta được
$2\left ( 4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}} \right )=1-22x-\frac{22}{x}$
$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2.4.3x.\frac{1}{x}\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}=1-22\left ( x+\frac{1}{x} \right )$
$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}-1=0$ (1)
*Đặt $t=x+\frac{1}{x},$ $|t|\geq 2$
$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2t-2\sqrt[3]{6t+1}-1=0\Leftrightarrow (2t)^3-2.(2t)=(6t+1)+2\sqrt[3]{6t+1}$ (2)
Xét hàm số: $f(y)=y^3+2y$ có đạo hàm $f'(y)=3y^2+2>0$ $\forall y\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f(y)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó
$(2)\Leftrightarrow f(2t)=f(\sqrt[3]{6t+1})\Leftrightarrow 2t=\sqrt[3]{6t+1}\Leftrightarrow 4t^3-3t=\frac{1}{2}$ (3)
*Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có nghiệm $t\in [-1;1]$. Thật vậy:
Đặt $t=\cos\alpha ,$ $\alpha \in \left [ 0;\pi \right ]$. Lúc đó
$(3)\Leftrightarrow 4\cos^3\alpha -3\cos\alpha =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \cos3\alpha =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \alpha =\pm \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \alpha =\frac{7\pi}{9}$ $\vee$ $ \alpha =\frac{5\pi}{9}$ $\vee$ $ \alpha =\frac{\pi}{9}$ (Do $\alpha \in [0;\pi]$)
$\Rightarrow t=\cos\frac{7\pi}{9}$ $\vee$ $ t=\cos\frac{5\pi}{9}$ $\vee$ $ t=\cos\frac{\pi}{9}$
Mà phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm nên suy ra (3) có 3 nghiệm t như trên và 3 nghiệm đó thuộc
$[-1;1]$
$\Rightarrow (2)$ chỉ có 3 nghiệm $t\in [-1;1]$ hay $(2)$ vô nghiệm trên $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm