Giải phương trình:
$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$
Toán thủ ra đề 19kvh97
Tuy em không đăng ký tham gia MHS (do không đủ tuổi), nhưng em vẫn muốn đóng góp cho diễn đàn. Cách giải sau đây có lẽ sẽ dài hơn cách giải của các anh chị nhưng bài giải này hoàn toàn theo phương pháp cấp 2 mà không dính dáng gì đến cấp 3
$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$
$\Leftrightarrow 8x^6 + 22x^4 - x^3 + 22x^4 + 8 = 2\sqrt[3]{6x^10+x^9+6x^8}$
- Xét x=0 không phải là nghiệm của pt
-Xét $x\neq 0$, khi đó chia 2 vế pt cho $x^3$, pt tương đương với:
$8x^3+\frac{8}{x^3}+22x+\frac{22}{x}-1=2\sqrt[3]{6x+\frac{6}{x}+1}\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^3-22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$
Đặt $a= x+\frac{1}{x}$, khi đó pt trên trở thành:
$8a^3-2a-1=2\sqrt[3]{6a+1}$(1). Lại đặt a = t +1, khi đó pt(1) trở thành:
$8(t+1)^3-2(t+1)-1=2\sqrt[3]{6t+7}\Leftrightarrow 8t^3+24t^2+22t+5=2\sqrt[3]{6t+7}$
Đặt $\sqrt[3]{6t+7}=2k+2$ thì ta có hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} 8t^3+24t^2+22t-4k=-1(2)\\ 8k^3+24k^2+24k-6t=-1(3)\end{matrix}\right.$
Trừ (2) cho (3), vế theo vế, ta có:
$8(t^3-k^3)+24(t^2-k^2)+28(t-k)=0\Leftrightarrow (t-k)(2t^2+2kt+k^2+6t+6k+7)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=k\\ A=2t^2+2kt+k^2+6t+6k+7=0 \end{bmatrix}$.
Mà $A=2t^2+t(2k+6)+(2k^2+6k+7)$, $\Delta _{A}=-12(k+1)^2-8< 0$nên pt vô nghiệm.
Vậy t=k, khi đó: $\sqrt[3]{6t+7}=2t+2\Leftrightarrow 8t^3+24t^2+18t+1=0$, mà t=a-1, nên thay vào ta có:
$8a^3+42a+1=0$. Đặt $a=z-\frac{1}{z}$, thì pt trên trở thành:
$8(z^3-\frac{1}{z^3})+1=0\Leftrightarrow 8z^6+z^3-8=0\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} z_{1}=\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}\\ z_{2}=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}} \end{bmatrix}$. Mà theo hệ thức Vi-et thì $z_{1}.z_{2}=-1$nên $a=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}$.
Ta có:$a=x+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x^2-ax+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{1}=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\\ x_{2}=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \end{bmatrix}$với$a=\frac{\sqrt[3]{-1+\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{-1-\sqrt{257}}}{2\sqrt[3]{2}}$.
Tính toán khá là rắc rối ^^, nếu có gì sai mong mọi người thông cảm!
Bài này em không có tham gia MHS nên không có chấm điểm. Bài làm của em sai tập nghiệm là do em chưa khảo sát kĩ điều kiện của ẩn phụ $a$. Tuy nhiên CD13 rất thích cách đặt $a=t+1$ của em, điều này ngoài suy nghĩ của anh vì hầu như khi ra phương trình chứa ẩn phụ $a$ thì ai cũng đi khảo sát hàm số hết!
Mong em đóng góp nhiều cho diễn đàn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-01-2014 - 21:11