Chủ đề này có 54 trả lời

[FanOnePiece]

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$ (1)

Với x=0 không thoả mãn (1)

Với $x\neq 0$ chia cả 2 vế phương trình (1) cho x^3 ta được

$2(4x^3-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}}+\frac{4}{x^{3}})=(1-22x-\frac{22}{x})$

$\Leftrightarrow 8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=0$ 

Với $x> 0$ ta thấy vế trái $8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}> 0$

Với $x< o$ ta thấy $8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}< 0$

vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

 

 

$\boxed{Điểm: 2}$

S=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-01-2014 - 21:34
Tổng hợp điểm

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, các toán thủ chuyển sang phần thảo luận.

 

Toán thủ nào tự ý sửa bài của mình sẽ được 0 điểm

 

Thời gian thảo luận là từ giờ đến hết ngày thứ sáu, 10/01

[vipkutepro]

Lời giải phương trình (file đính kèm)

 

 

 

Không đọc được file gửi kèm thì làm sao chấm?

đọc được bình thường mà BQT

[19kvh97]

1) Họ và tên thật: Kim Văn Hùng
2) Đang học lớp 11A1- trường THPT Mỹ Đức B- huyện Mỹ Đức- Thành phố Hà Nội
3) Đề Bài:
Giải phương trình:
$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$
4) Đáp Án:
Nhận thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình
$x\neq 0$. Chia cả $2$ vế của phương trình cho $x^3$ ta được
$8x^3-2\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}}+\frac{8}{x^3}=1-22x-\frac{22}{x}$
$\Leftrightarrow 8(x^3+\frac{1}{x^3})-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}+22(x+\frac{1}{x})=1$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a$ $(a\epsilon (-\infty;-2]\cup [2;+\infty ))$
Ta có $a^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})=x^3+\frac{1}{x^3}+3a$ nên phương trình trở thành
$8a^3-2a=2\sqrt[3]{6a+1}+1\Leftrightarrow (2a)^3+2a=6a+1+2\sqrt[3]{6a+1}(*)$
Xét hàm $f(m)=m^3+2m$
$f'(m)=3m^2+2>0 \vee m$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
nên $(*)\Leftrightarrow f(2a)=f(\sqrt[3]{6a+1})\Leftrightarrow 2a=\sqrt[3]{6a+1}$
$\Leftrightarrow 2a(4a^2-3)=1(**)$
Do $a\epsilon (-\infty;-2]\cup [2;+\infty )$ nên $a^2\geq 4\Rightarrow 4a^2-3\geq 13>0$
nên ĐK cần để phương trình $(**)$ có nghiệm là $a\geq2$. Khi đó $VT(**)\geq 52>1=VP(**)$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm


a

[phatthemkem]

Em chỉ mới học lớp $10$ thôi nên chưa biết đến mấy cái xét hàm gì đó, bài làm thế không biết có được điểm tối đa không nhỉ, chắc không đâu !

[19kvh97]

TXĐ : D=R

Nhận thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên ta chia cả $2$ vế của phương trình cho $x^3$ ta được 

          $2(4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}})=1-22x-\frac{22}{x}$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t\Rightarrow \left | t \right |\geqslant 2$

Và $4x^3+\frac{4}{x^3}=4(t^3-3t)$

PT đã cho trở thành $2\left [ 4(t^3-3t)-\sqrt[3]{6t+1} \right ]=1-22t$

                    $\Leftrightarrow 8t^3-2t-1=2\sqrt[3]{6t+1}$

Đặt $2t=a$, phương trình trở thành $a^3-a-1-\sqrt[3]{3a+1}=0,\left | a \right |\geqslant 4$

Xét $f(a)=a^3-a-1-\sqrt[3]{3a+1}$

TH1: $a \geqslant 4$

      $\Rightarrow f'(a)=3a^2-1-\frac{6}{\sqrt[3]{(3a+1)^2}}>3.4^2-1-7>0$

      $\Rightarrow f(a) \geqslant f(4)>0$

Vậy phuơng trình đã cho vô nghiệm

TH2: $a \leqslant -4$

     $\Rightarrow f'(a)=3a^2-1-\frac{6}{\sqrt[3]{(3a+1)^2}}>0$

     

bạn tính đạm hàm nhầm rùi vs lại $f(a)$ cũng xét nhầm lun

[19kvh97]

 

 

Phương trình đã cho tương đương với $8x^6-2x^2.\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{6x^2+x+6}+8+x^2\left ( 22x^2-x+22 \right )=0$

Đặt $\sqrt[3]{x^2}=a\geq 0;\sqrt[3]{6x^2+x+6}=b$. Vì $6x^2+x+6\geq \frac{143}{24},\forall x$ nên $b\geq \sqrt[3]{\frac{143}{24}}$

Ta có: $x^2=a^3;x^6=a^9;x^2.\sqrt[3]{x^2}=a^4$

      và $22x^2-x+22=\frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x$

Phương trình đã cho trở thành:

$$8a^9-2a^4b+8+a^3\left ( \frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x \right )=0$$

Xét biểu thức $A=8a^9-2a^4b+8+a^3\left ( \frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x \right )$, ta có:

$A=a^3\left ( 8a^6-2ab+\frac{11}{3}b^3-\frac{14}{3}x \right )+8$

  $=a^3\left ( \frac{2b^3-14x}{3}+8a^6-2ab+3b^3 \right )+8$

  $=a^3\left [ \frac{2\left ( 6x^2+x+6 \right )-14x}{3}+8a^6-2ab+3b^3 \right ]+8$

  $=a^3\left [ 4\left ( x^2-x+1 \right )+\left ( 8a^6-2ab+3b^3 \right ) \right ]+8$

Với mọi $a\geq 0;b\geq \sqrt[3]{\frac{143}{24}};x\in \mathbb{R}$ thì:

$\left\{\begin{matrix} a^3\geq 0\\ x^2-x+1\geq \frac{3}{4}> 0\\ 8a^6-2ab+3b^3\geq 0 \end{matrix}\right.$

Suy ra $A\geq 8> 0$

Hay $8x^6-2x^2.\sqrt[3]{x^2}.\sqrt[3]{6x^2+x+6}+8+x^2\left ( 22x^2-x+22 \right )> 0,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm hay $S=\phi$

 

hơi khó hiểu 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 06-01-2014 - 23:30

[19kvh97]

Phương trình đã cho được biến đổi là:
$8x^6-2\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+8=-22x^{4}+x^{3}-22x^{2}$

$\Leftrightarrow 8(x^{6}+1)+22(x^{4}+x^{2})-x^{3}=2\sqrt[3]{6(x^{10}+x^{8})+x^{9}}$

Vì 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia 2 vế cho $x^{3}$ ta có:

$8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1=2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}$

Tiếp tục đặt $t=x+\frac{1}{x}(\left | t \right |\geqslant 2)$, ta có:

$8t^{3}=2\sqrt[3]{6t+1}+2t+1$

Đặt $\sqrt[3]{6t+1}=2u$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} 8t^{3}=4u+2t+1 & \\ 8u^{3}=6t+1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 8(t^{3}-u^{3})=4(u-t)$

$\Leftrightarrow 2(t-u)(t^{2}+u^{2}+ut)=-(t-u)$

$\Leftrightarrow u=t \vee 2(u^{2}+t^{2}+ut)+1=0$

Với $u=t\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt[3]{6t+1}=t\Leftrightarrow 8t^{3}=6t+1$

Đặt $t=\cos \theta$, ta có:

$2(4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )=1$

$\Leftrightarrow \cos 3\theta =\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \theta =\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\vee \theta =\frac{-\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}$

Vì phương trình bậc 3 chỉ có tối đa 3 nghiệm nên ta chỉ cần

phải có đk $-1\leq t\leq 1$  mới đặt dc chứ nhỉ?

[19kvh97]

 

Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai vế của phương trình cho $x^{3}$khi đó ta có: 

$2(4x^{6}-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)= x^2(x-22x^2-22)$

$\Leftrightarrow 8x^3-2\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}}+\frac{8}{x^3} =1-22x-\frac{22}{x}$   (1)

$\Leftrightarrow 8(x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3})-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1+2(x+\frac{1}{x})$ 

$\Leftrightarrow 8(x+\frac{1}{x})^3-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=1+2(x+\frac{1}{x})$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$, khi đó 

$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2\sqrt[3]{6t+1}=1+2t$

     $\Leftrightarrow 8t^3=1+2t+2\sqrt[3]{6t+1}$

Đặt $2y=\sqrt[3]{6t+1}$ ta được hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 8t^3=2t+1+4y     (a)& & \\ 8y^3=6t+1    (b) & & \end{matrix}\right.$

 

Lấy (a)-(b) vế theo vế ta được phương trình:

    $8(t^3-y^3)=-4(t-y)$

$\Leftrightarrow 8(t-y)(t^2+ty+y^2)=-4(t-y)$

$\Leftrightarrow  (t-y)[2(t^2+yt+y^2)+1]=0$

$\Leftrightarrow t-y=0 $    (Vì  $2(t^2+yt+t^2)+1>0,\forall y,t\in \mathbb{R}$)

$\Leftrightarrow t=y $

Thay y=t vào (b) ta được:

                   $8t^3-6t = 1 \Leftrightarrow 4t^3-3t = cos(\frac{\pi}{3})$

Sử dụng công thức $4cos^3\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}=cos\alpha$    ta suy ra được các giá trị của lần lượt là:$t=cos\frac{\pi}{9}$;   $t=cos\frac{5\pi}9$;    $t=cos\frac{7\pi}{9}$

Thay lần lượt các giá trị của t vào  phương trình $x^2-xt+1=0$ suy ra x.          

phải có đk $-1\leq t\leq 1$ thì mới sử dụng công thức đó đc chứ

[19kvh97]

$$2(4x^6-\sqrt[3]{6x^{10}+x^9+6x^8}+4)=x^2(x-22x^2-22)$$ (1)

Với x=0 không thoả mãn (1)

Với $x\neq 0$ chia cả 2 vế phương trình (1) cho x^3 ta được

$2(4x^3-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}}+\frac{4}{x^{3}})=(1-22x-\frac{22}{x})$

$\Leftrightarrow 8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}=0$ 

Với $x> 0$ ta thấy vế trái $8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}> 0$

Với $x< o$ ta thấy $8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})+22(x+\frac{1}{x})-1-\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}< 0$

vậy phương trình đã cho vô nghiệm

chỗ này chắc là ko đúng nhỉ?

[19kvh97]

Biến đổi phương trình thành : 

$$8x^{6}-x^{3}+8+2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})=0$$

Ta có : $$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}$$

$$=\frac{(2x^{2}+2)^{3}-6x^{2}-x-6}{(2x^{2}+2)^{2}+(2x^{2}+2)\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}+(\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})^{2}}$$

$$= \frac{8x^{6}+24x^{4}+18x^{2}-x+2}{A}$$

$$=\frac{(8x^{6}+24x^{4}+17x^{2}+1)+(x^{2}-x+1)}{A}> 0$$

 nên $$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}>0$$

$$\Rightarrow 2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})\geq 0$$

Và $$8x^{6}-x^{3}+8=7x^{6}+7+x^{6}-x^{3}+1> 0$$

Cộng 2 vế lại ta có phương trình đã cho VN.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

nhầm ngay từ đây rùi bạn nè

[motdaica]

*Nếu $x=0$: $(*)\Leftrightarrow 2.4=0$  (Vô lí!)

 

*Nếu $x\neq 0$: Chia 2 vế của $(*)$ cho $x^3$ ta được

 

$2\left ( 4x^3+\frac{4}{x^3}-\sqrt[3]{6x+1+\frac{6}{x}} \right )=1-22x-\frac{22}{x}$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2.4.3x.\frac{1}{x}\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}=1-22\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

 

$\Leftrightarrow 8\left ( x+\frac{1}{x} \right )^3-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )-2\sqrt[3]{6\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1}-1=0$  (1)

 

*Đặt $t=x+\frac{1}{x},$  $|t|\geq 2$

 

$(1)\Leftrightarrow 8t^3-2t-2\sqrt[3]{6t+1}-1=0\Leftrightarrow (2t)^3-2.(2t)=(6t+1)+2\sqrt[3]{6t+1}$  (2)

 

Xét hàm số:  $f(y)=y^3+2y$  có đạo hàm  $f'(y)=3y^2+2>0$    $\forall y\in \mathbb{R}$

 

$\Rightarrow f(y)$  đồng biến trên  $\mathbb{R}$. Do đó

 

$(2)\Leftrightarrow f(2t)=f(\sqrt[3]{6t+1})\Leftrightarrow 2t=\sqrt[3]{6t+1}\Leftrightarrow 4t^3-3t=\frac{1}{2}$  (3)

 

*Ta chứng minh phương trình  (3) chỉ có nghiệm $t\in [-1;1]$.  Thật vậy:  

 

Đặt $t=\cos\alpha ,$  $\alpha \in \left [ 0;\pi \right ]$. Lúc đó

 

$(3)\Leftrightarrow 4\cos^3\alpha -3\cos\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \cos3\alpha =\frac{1}{2}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\pm \frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3},k\in \mathbb{Z}$

 

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ \alpha =\frac{\pi}{9}$     (Do $\alpha \in [0;\pi]$)

 

 $\Rightarrow t=\cos\frac{7\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{5\pi}{9}$  $\vee$  $ t=\cos\frac{\pi}{9}$

 

Mà phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm nên suy ra (3) có 3 nghiệm t như trên và 3 nghiệm đó thuộc

$[-1;1]$  

 

$\Rightarrow (2)$  chỉ có 3 nghiệm $t\in [-1;1]$ hay $(2)$ vô nghiệm trên $(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

với việc đặt  t= $\cos a$ thì đã coi $t\in [-1;1]$ rồi còn gì

[25 minutes]

bạn tính đạm hàm nhầm rùi vs lại $f(a)$ cũng xét nhầm lun

Ừm, chắc đạo hàm do lỗi đánh máy, nhưng sao xét $f(a)$ sai ở chỗ nào vậy ?

[Primary]

với việc đặt  t= $\cos a$ thì đã coi $t\in [-1;1]$ rồi còn gì

Việc đặt đó thực chất chỉ là xét trên đoạn $[-1;1]$ thôi chứ không phải là lúc nào cũng xem $t\in [-1;1]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 07-01-2014 - 05:11

[phatthemkem]

 

 

 

hơi khó hiểu 

 

Cái đó cũng dễ hiểu thôi mà!

Với $a\geq 1$ ta có ngay điều hiển nhiên

Với $0\leq a<1$ thì $ab\leq b^2$, ta có $8a^6-2ab+3b^3\geq 8a^6-2b^2+3b^3\geq 0$ luôn đúng với $a\geq 0,b\geq \sqrt[3]{\frac{143}{24}}$

[Tran Hoai Nghia]

phải có đk $-1\leq t\leq 1$  mới đặt dc chứ nhỉ?

Nếu theo "triết lí" trình bày ký lưỡng thì nên có điều kiện, nếu không đặt đk vẫn không sao.Miễn là đặt hợp lí và tìm được đủ 3 nghiệm là được,trong th không tìm đủ 3 nghiệm thì không nên giải theo lượng giác.Bài của mình đúng là có một chút thiếu sót phần đặt lượng giác.

Cho em hỏi chừng nào mấy thầy chấm vậy??    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 07-01-2014 - 12:36

[BoFaKe]

nhầm ngay từ đây rùi bạn nè

Ukm,mình khai căn sai,nếu chịu coi lại thì chắc là vẫn sửa được,nhưng mình nghĩ ý tưởng trục căn thức dễ chứng minh phương trình vô nghiệm hơn.Thôi thì bị loại nhưng đóng góp thêm cách cho mọi người vậy.

-------------------------------------------------

Vẫn biến đổi như trên :$8x^{6}-x^{3}+8+2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{4}+x^{3}+6x^{2}})=0$

Mà :

$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{4}+x^{3}+6x^{2}}= \frac{8x^{6}+18x^{4}+18x^{2}+8-x^{3}}{A}> 0$.

Từ đây dễ chứng minh phương trình vô nghiệm.

 

 

CD13: Điểm nhận xét $\boxed{1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 12-01-2014 - 07:48

[Tran Hoai Nghia]

ta được phương trình bậc 9 ẩn a là:

a^9-3a^6-6a^3-54a-19=0

phân tích đa thức thành nhân tử ta được (a^3-3a-1)(a^6+3a^4-2a^3+9a^2-3a+19)=0

 

Nếu bạn đi thi hsg thì phân tích thành nhân tử mất thời gian lắm, cách này chưa hiệu quả cho lắm, hơi trâu.Bạn có cách dùng bất đẳng thức hay,mình ủng hộ:

Cái còn lại là a^3-3a-1=0 . Bây giờ ta chú ý lại đk của a ta dễ thấy a^2>4 (sử dụng bđt AM-GM cho x+1/x trong căn thức)

ta thấy với đk của a như trê thì phương trình a^3-3a-1=0 vô nghiệm (cm thì chia cả hai vế cho a là xong)

 

[phatthemkem]

Ukm,mình khai căn sai,nếu chịu coi lại thì chắc là vẫn sửa được,nhưng mình nghĩ ý tưởng trục căn thức dễ chứng minh phương trình vô nghiệm hơn.Thôi thì bị loại nhưng đóng góp thêm cách cho mọi người vậy.

Vòng đầu hình như chưa loại ai cả mà, theo mình thì bạn rất có năng lực, có thể bạn vẫn sẽ còn đi sâu hơn nữa đấy!

[19kvh97]

Ừm, chắc đạo hàm do lỗi đánh máy, nhưng sao xét $f(a)$ sai ở chỗ nào vậy ?

nó phải là $f(a)=a^3-a-1-2\sqrt[3]{3a+1}$ thiếu hệ số $2$