Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 03-01-2014 - 21:31

PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN( NGUYÊN TẮC XUỐNG THANG)

Phương pháp lùi vô hạn( hay là nguyên tắc xuống thang) là phương pháp được sử dụng khá nhiều trong phương trình nghiệm nguyên.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{3}+3y^{3}=9z^{3}$ (1)

Lời giải: Từ (1) dễ thấy $x\vdots 3$ nên đặt $x=3x_{1}$.Suy ra phương trình (1) trở thành

$9{x_{1}}^{3}+y^{3}=3z^{3}$ (2). Từ đây ta suy ra $y\vdots 3$ => $y=3y_{1}$.Thay vào (2) ta được: $3{x_{1}}^{3}+9y^{3}=z^{3}$.Ta lại suy ra $z\vdots 3$.Phương trình bây giờ là:

       ${x_{1}}^{3}+3{y_{1}}^{3}=9{z_{1}}^{3}$

 Nếu (x;y;z) là 1 bộ nghiệm của (1) thì ($x_{1}$;$y_{1}$;$z_{1}$) cũng là 1 bộ nghiệm

Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến kết luận x,y,z chia hết cho $3^{k}$ với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉ đúng với x = y = z = 0

Nhận xét: Nếu đề bài tương tự như trên nhưng tìm nghiệm nguyên dương các bạn có thể giải như sau. Giả sử (X,Y,Z) là bộ nghiệm của (1) với X nhỏ nhất mà x có thể nhận. Theo cách 1 thì ($X_{1}$; $Y_{1}$;$Z_{1}$) là 1 bộ nghiệm của (1) với ($X=2X_{1}$;$Y=2Y_{1}$$Z=2Z_{1}$  ).Mà ta đã giả sử X nhỏ nhất => mâu thuẫn .Vậy phương trình không có nghiện nguyên dương

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}.y^{2}$ (*)

Lời giải: Giả sử x,y đều lẻ thì  z chẵn => VT(*) chia cho 4 dư 2, VP(*) chia cho 4 dư 1( vô lý)

Vậy tồn tại 1 trong 2 số x,y chẵn. Gọi  x là số chẵn => $y^{2}+z^{2}\vdots 4$ => y,z chẵn

Từ đây ta suy ra $x=2x_{1}$;$y=2y_{1}$;$z=2z_{1}$. Thay vào pt (*) ta được:

                ${x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}+{z_{1}}^{2}=4{x_{1}}^{2}.{y_{1}}^{2}$

Cứ tiếp tục như vậy ta được : x,y,z chia hết  $\vdots 2^{k}$. Điều này chỉ đúng với x = y = z = 0

Ví dụ 3:Tìm hai phân số hữu tỉ sao cho tổng bình phương của chúng bằng 3.

Lời giải: Gọi hai phân số đó là: $\frac{x}{z}$;$\frac{y}{z}$ ( với x,y,z nguyên và z khác 0)

Theo đề bài ta có: $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$ => $x^{2}+y^{2}\vdots 3$ => x,y chi hết cho 3

Đặt $x=3x_{1}$;$y=3y_{1}$. Thế vào phương trình ta được:

                             $3{x_{1}}^{2}+3{y_{1}}^{2}=z^{2}$

Từ đây suy ra $z=3z_{1}$ => ${x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}=3{z_{1}}^{2}$

Tiếp tục như vậy ta cm được: x,y,z chia hết cho $3^{k}$ => x = y = z = 0

 

 

 

 



#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 26-07-2019 - 00:12

Có bài này mong mọi người đóng góp bằng pp xuống thang nếu được: 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$ a^2 - 3b^2 = c^2 $


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh