Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[VMO 2014] Ngày 2 - Bài 5 - Hình học phẳng

vmo2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-01-2014 - 11:56

Bài 5 (7 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ và $ABC$

a) Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng
b) Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K(K\neq A)$. Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F(F\neq A)$. Chứng minh rằng $AF$ đi qua một điểm cố định.

 


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 04-01-2014 - 13:52

câu a) Do NA=NB,MA=MC =>$\angle ABN= \angle BAB=\angle ACM$

=> BNCM nội tiếp => $\overline{QM}.\overline{QN}=\overline{QB}.\overline{QC}$

kẻ đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNCM khi đó AP,MN,BC đồng quy tại Q' (trục đẳng phương)

=> $\overline{Q'M}.\overline{Q'N}=\overline{Q'B}.\overline{Q'C}$

=> Q trùng Q'

=> A,P,Q thẳng hàng



#3 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-01-2014 - 13:54

Bài 5 (7 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ và $ABC$

a) Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng
b) Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K(K\neq A)$. Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F(F\neq A)$. Chứng minh rằng $AF$ đi qua một điểm cố định.

Ảnh chụp màn hình_2014-01-04_133941.png

Bài này không đánh đố như năm ngoái :), cơ mà phải bình tĩnh làm bài. Mình ngồi nhà nên thấy nó không quá khó, các anh đi thi nếu tĩnh tâm chắc ko trục trặc gì đâu ^^~.

$\boxed{\text{Không giảm tính tổng quát. Trường hợp bài toán xảy ra như trên hình, các trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự}}$

a, Ngoài các tứ giác nội tiếp hiển nhiên từ giả thiết, chú ý thêm còn có tứ giác $QMCP, BQPN, BMCN$ nội tiếp nữa. Sử dụng các tính chất về góc của tứ giác nội tiếp để chứng minh $\angle AQP = 180^\circ$ là xong.

b, Từ giả thiết, ta có $\left\{\begin{matrix} NO \perp AC \Rightarrow NO \perp AM\\ MO \perp AB \Rightarrow MO \perp AN \end{matrix}\right. $ $\Rightarrow O$ là trực tâm $\triangle AMN$.
Lại có $\left\{\begin{matrix} AK \perp MN\\ AO \perp MN \end{matrix}\right. \Rightarrow \overline{A,O,K}$

Vậy $AE$ là tiếp tuyến của $(O)$. Tới đây bài toán quay trở về một bổ đề rất quen thuộc: $AF$ là đường đối trung của $\triangle ABC$

Thật vậy, giả sử đường đối trung của $\triangle ABC$ tại $A$ cắt $(O)$ tại $F'$ (trên hình em là $F$ nhưng nó cũng ko ảnh hưởng lắm)

Khi do $A(EF'BC) = -1$ nên $ABF'C$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow EF$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow \angle EF'O = 90^\circ =  \angle EDO = \angle EAO$ nên $E,A,O,D,F'$ đồng viên.

Hay $F \equiv F'$.

Chỗ này dễ bị nhầm lẫn, nhiều người sẽ tưởng điểm cố định là giao điểm của đường đối trung từ đỉnh $A$ với $BC$ (vì nó chia $BC$ tỉ số không đổi) nhưng nếu để ý kĩ đề bài thì $A$ chuyển động trên $O$ nên $\dfrac{AB}{AC} \neq const$, tức điểm đấy không phải là điểm cố định.
Tóm lại, điểm cố định mà $AF$ đi qua là giao điểm 2 tiếp tuyến từ $B$ và $C$ của $(O)$ $\square$


"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#4 nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T-Chuyên Lê Quý đôn-Bình định
  • Sở thích:iqn

Đã gửi 04-01-2014 - 14:16

cách khác: 

b) dễ dàng c/m: AO vuông góc MN => A,O,K thẳng hàng (c/m như bạn Blackselena) mà $\angle ODE= 90$

=> các điểm A,O,D,F,E nội tiếp đường tròn đường kính OE

=> EA,EF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

<=> ABFC là tứ giác điều hòa

<=> AF luôn đi qua giao điểm của 2 tiếp tuyến B,C của đường tròn (O)  



#5 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 06-01-2014 - 17:31

 Mình xin giới thiệu cách làm của THCS ,Hình vẽ như của bạn http://diendantoanho...77-blackselena/

Câu b:Vẽ 2 tiếp tuyến tại B và C của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $I$ .Do B,C cố định nên $I$ cố định .Ta sẽ CM: AF đi qua điểm $I$ cố định.

Gọi giao điểm của $AI$ với đường tròn $(O)$ là $F'$. Ta sẽ CM :$F\equiv F'$

-Do $AO=OB,AN=NB= > ON$ là trung trực đoạn $AM$ $= > ON$ vuông góc AB, Tương tự OM vuông góc AN 

Do đó O là trực tâm tam giác AMN nên AO vuông góc MN. Do 2 đường tròn tâm M và tâm N cắt nhau tại A và K nên MN là trung trực AK hay MN vuông góc AK :

 Từ đó suy ra A,O,K thẳng hàng .

Gọi D là giao điểm của OI và BC .Ta có :$IB^2=ID.IO=IF'.IA$ nên tứ giác $AODF'$ nội tiếp hay $\widehat{KOD}=\widehat{DF'A}$(1)

Do $\widehat{ODE}+\widehat{EAO}=90+90=180$ nên tứ giác AODE nội tiếp hay $\widehat{ODK}=\widehat{AED}$(2)

- Từ (1) ,(2) $= > \widehat{DF'A}=\widehat{AED}$ hay tứ giác $AEF'D$ nội tiếp .Từ đó $F'$ là giao điểm của 2 đường tròn $(AED),(ABC)$

$= > F\equiv F'$ $= > AF$ đi qua điểm I cố định 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo2014

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh