Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Công nghiệp HN 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tieukiemth

tieukiemth

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 05-01-2014 - 11:50

Dễ thế mà  sai một con dễ nhất

 

Câu 1 (2 điểm)
Cho hệ vector:
$$u_1 = (2;3;5);u_2 = (3;7;8); u_3 = (1;-6;1); u_4 = (7;-2;m)$$
Tìm $m$ để vector $u_4$ biểu diễn tuyến tính qua các vector $u_1,u_2,u_3$
 
Câu 2 (2 điểm) Tính định thức:
$$\begin{vmatrix}a & ab &0  &...  &0 \\ 1 &a+b  &ab  &...  &0 \\ 0 &1  &a+b  &...  &0 \\ ... &...  &...  &...  &... \\ 0 &0  &0  &...  &a+b \end{vmatrix}$$
 
Câu 3 (1 điểm) Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2014} = 0$. Chứng minh rằng:
$$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + ... + A^{2013}$$
 
Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:
$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.
a) Chứng minh rằng: 
$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$
b) Tính tích phân:
$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$
 
Câu 5 (1 điểm) Xác định $a,b$ để hàm số:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}ax^2+bx & khi & x \geq 1\\ 2x-1 & khi & x < 1 \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm với mọi giá trị của $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
 
Câu 6 (1 điểm) Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \left ( \cot x - \frac{1}{x} \right )$

Hình gửi kèm

  • 1554564_186867054854960_839872769_n.jpg


#2 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 15-01-2014 - 14:36

Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:
$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.
a) Chứng minh rằng:
$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$
b) Tính tích phân:
$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$

Câu này cho y chang đề mỏ địa chất 2013 http://diendantoanho...-môn-giải-tích/

Câu 1 (2 điểm)

Cho hệ vector:

$$u_1 = (2;3;5);u_2 = (3;7;8); u_3 = (1;-6;1); u_4 = (7;-2;m)$$

Tìm $m$ để vector $u_4$ biểu diễn tuyến tính qua các vector $u_1,u_2,u_3$


Làm thủ công

$u_{4}=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}$

Xét $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &3 &1 &| &7 \\ 3&7 &-6 &| &-2 \\ 5& 8&1 &| &m \end{smallmatrix}\bigr)$, giải theo Gauss-Jordan

$\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &3 &1 &| &7 \\ 0&1 &-3 &| &-25 \\ 0& 0&0 &| &2m-35 \end{smallmatrix}\bigr)$

$\Rightarrow m=\frac{35}{2}$

Câu 5 (1 điểm) Xác định $a,b$ để hàm số:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}ax^2+bx & khi & x \geq 1\\ 2x-1 & khi & x < 1 \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm với mọi giá trị của $x$ thuộc $\mathbb{R}$.


Hàm số có đạo hàm khi nó liên tục. Dễ thấy ta chỉ cần chứng minh hàm liên tục và có đạo hàm tại $x=1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)=a+b$

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1$

Vậy ta có $a+b=1\, (1)$

Hàm số có đạo hàm tại $1\Leftrightarrow \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ là một số thực

$\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2a+b$

$\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=1$

Vậy $2a+b=1\, (2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 15-01-2014 - 14:45

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 15-01-2014 - 14:59



 
Câu 6 (1 điểm) Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \left ( \cot x - \frac{1}{x} \right )$

 

Giải:

 

Ta khai triển $\tan x$ tại $x=0$

 

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)\to \cot x=\frac{1}{x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)}$$

 

$$\to\cot x-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left ( \frac{1}{1+\frac{x^2}{3}+O(x^2)}-1 \right )=\frac{-\frac{x}{3}+O(x^2)}{1+\frac{x^2}{3}+O(x^2)}\to 0$$

 

Vậy $$\lim_{x\to 0} \left ( \cot x-\frac{1}{x} \right )=0$$

 




 

Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:
$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.
a) Chứng minh rằng: 
$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$
b) Tính tích phân:
$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$

 

Giải:

 

a.

 

Ta có:  $$I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)}{1+g(-x)}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)g(x)}{1+g(x)}dx$$

 

$$\Rightarrow 2I=\int_{-a}^{a}\left ( \frac{f(x)}{1+g(x)}+\frac{f(x)g(x)}{1+g(x)} \right )dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$$

 

$$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}f(x)dx$$

 

b. Áp dụng câu a.

 

 



Câu 3 (1 điểm) Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2014} = 0$. Chứng minh rằng:
$$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + ... + A^{2013}$$

 

Giải:

 

$$A^{2014}=0\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )+A\left ( I_n-A^{2013} \right )=I_n$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )+A\left ( I_n-A \right )\left ( I_n+A+\cdots+A^{2012} \right )=I_n$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )\left ( I_n+A+A^2+\cdots+A^{2013} \right )=I_n$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( I-A \right )^{-1}=I_n+A+A^2+\cdots+A^{2013}\: \: \: \fbox{đpcm}$$

 

 

Câu 2 (2 điểm) Tính định thức:

$$\begin{vmatrix}a & ab &0  &...  &0 \\ 1 &a+b  &ab  &...  &0 \\ 0 &1  &a+b  &...  &0 \\ ... &...  &...  &...  &... \\ 0 &0  &0  &...  &a+b \end{vmatrix}$$
 

 

Giải:

 

Đặt $$D_n=\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

Áp dụng khai triến $Laplace$ cột đầu tiên, ta có:

 

$$D_n=\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

$$=a\begin{vmatrix}1 & b &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

$$=a\begin{vmatrix}1 & b &0 &... &0 \\ 0 &a &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

$$=aD_{n-1}=a^2D_{n-2}=\cdots=a^{n-1}D_{1}$$

 

$$=\fbox{$(a+b)a^{n-1}$}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 15-01-2014 - 15:42

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh