Dễ thế mà sai một con dễ nhất
Dễ thế mà sai một con dễ nhất
Câu này cho y chang đề mỏ địa chất 2013 http://diendantoanho...-môn-giải-tích/Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:
$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.
a) Chứng minh rằng:
$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$
b) Tính tích phân:
$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$
Câu 5 (1 điểm) Xác định $a,b$ để hàm số:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}ax^2+bx & khi & x \geq 1\\ 2x-1 & khi & x < 1 \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm với mọi giá trị của $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 15-01-2014 - 14:45
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
Câu 6 (1 điểm) Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \left ( \cot x - \frac{1}{x} \right )$
Giải:
Ta khai triển $\tan x$ tại $x=0$
$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)\to \cot x=\frac{1}{x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)}$$
$$\to\cot x-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left ( \frac{1}{1+\frac{x^2}{3}+O(x^2)}-1 \right )=\frac{-\frac{x}{3}+O(x^2)}{1+\frac{x^2}{3}+O(x^2)}\to 0$$
Vậy $$\lim_{x\to 0} \left ( \cot x-\frac{1}{x} \right )=0$$
Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.a) Chứng minh rằng:$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$b) Tính tích phân:$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$
Giải:
a.
Ta có: $$I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)}{1+g(-x)}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)g(x)}{1+g(x)}dx$$
$$\Rightarrow 2I=\int_{-a}^{a}\left ( \frac{f(x)}{1+g(x)}+\frac{f(x)g(x)}{1+g(x)} \right )dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$$
$$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}f(x)dx$$
b. Áp dụng câu a.
Câu 3 (1 điểm) Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2014} = 0$. Chứng minh rằng:$$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + ... + A^{2013}$$
Giải:
$$A^{2014}=0\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )+A\left ( I_n-A^{2013} \right )=I_n$$
$$\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )+A\left ( I_n-A \right )\left ( I_n+A+\cdots+A^{2012} \right )=I_n$$
$$\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )\left ( I_n+A+A^2+\cdots+A^{2013} \right )=I_n$$
$$\Leftrightarrow \left ( I-A \right )^{-1}=I_n+A+A^2+\cdots+A^{2013}\: \: \: \fbox{đpcm}$$
Câu 2 (2 điểm) Tính định thức:
$$\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
Giải:
Đặt $$D_n=\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
Áp dụng khai triến $Laplace$ cột đầu tiên, ta có:
$$D_n=\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
$$=a\begin{vmatrix}1 & b &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
$$=a\begin{vmatrix}1 & b &0 &... &0 \\ 0 &a &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
$$=aD_{n-1}=a^2D_{n-2}=\cdots=a^{n-1}D_{1}$$
$$=\fbox{$(a+b)a^{n-1}$}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 15-01-2014 - 15:42
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh