Chủ đề này có 2 trả lời

[tieukiemth]

Dễ thế mà  sai một con dễ nhất

 

Câu 1 (2 điểm)

Cho hệ vector:

$$u_1 = (2;3;5);u_2 = (3;7;8); u_3 = (1;-6;1); u_4 = (7;-2;m)$$

Tìm $m$ để vector $u_4$ biểu diễn tuyến tính qua các vector $u_1,u_2,u_3$

 

Câu 2 (2 điểm) Tính định thức:

$$\begin{vmatrix}a & ab &0  &...  &0 \\ 1 &a+b  &ab  &...  &0 \\ 0 &1  &a+b  &...  &0 \\ ... &...  &...  &...  &... \\ 0 &0  &0  &...  &a+b \end{vmatrix}$$

 

Câu 3 (1 điểm) Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2014} = 0$. Chứng minh rằng:

$$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + ... + A^{2013}$$

 

Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:

$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.

a) Chứng minh rằng: 

$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$

b) Tính tích phân:

$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$

 

Câu 5 (1 điểm) Xác định $a,b$ để hàm số:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}ax^2+bx & khi & x \geq 1\\ 2x-1 & khi & x < 1 \end{matrix}\right.$$

có đạo hàm với mọi giá trị của $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

 

Câu 6 (1 điểm) Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \left ( \cot x - \frac{1}{x} \right )$

Hình gửi kèm

• 

[hoangtrong2305]

Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:
$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.
a) Chứng minh rằng:
$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$
b) Tính tích phân:
$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$

Câu này cho y chang đề mỏ địa chất 2013 http://diendantoanho...-môn-giải-tích/

Câu 1 (2 điểm)
Cho hệ vector:
$$u_1 = (2;3;5);u_2 = (3;7;8); u_3 = (1;-6;1); u_4 = (7;-2;m)$$
Tìm $m$ để vector $u_4$ biểu diễn tuyến tính qua các vector $u_1,u_2,u_3$

Làm thủ công

$u_{4}=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}$

Xét $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &3 &1 &| &7 \\ 3&7 &-6 &| &-2 \\ 5& 8&1 &| &m \end{smallmatrix}\bigr)$, giải theo Gauss-Jordan

$\bigl(\begin{smallmatrix} 2 &3 &1 &| &7 \\ 0&1 &-3 &| &-25 \\ 0& 0&0 &| &2m-35 \end{smallmatrix}\bigr)$

$\Rightarrow m=\frac{35}{2}$

Câu 5 (1 điểm) Xác định $a,b$ để hàm số:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}ax^2+bx & khi & x \geq 1\\ 2x-1 & khi & x < 1 \end{matrix}\right.$$
có đạo hàm với mọi giá trị của $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Hàm số có đạo hàm khi nó liên tục. Dễ thấy ta chỉ cần chứng minh hàm liên tục và có đạo hàm tại $x=1$

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=f(1)=a+b$

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1$

Vậy ta có $a+b=1\, (1)$

Hàm số có đạo hàm tại $1\Leftrightarrow \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ là một số thực

$\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2a+b$

$\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=1$

Vậy $2a+b=1\, (2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 15-01-2014 - 14:45

[Mrnhan]

 

Câu 6 (1 điểm) Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to 0} \left ( \cot x - \frac{1}{x} \right )$

 

Giải:

 

Ta khai triển $\tan x$ tại $x=0$

 

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)\to \cot x=\frac{1}{x+\frac{x^3}{3}+O(x^3)}$$

 

$$\to\cot x-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left ( \frac{1}{1+\frac{x^2}{3}+O(x^2)}-1 \right )=\frac{-\frac{x}{3}+O(x^2)}{1+\frac{x^2}{3}+O(x^2)}\to 0$$

 

Vậy $$\lim_{x\to 0} \left ( \cot x-\frac{1}{x} \right )=0$$

 

 

Câu 4 (3 điểm) Cho $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $[-a;a], a > 0$. Hàm số $g(x)$ liên tục và nhận gía trị dương trên $[-a;a] thỏa mãn:

$$g(-x)=\frac{1}{g(x)},\forall x \in [-a;a]$$.

a) Chứng minh rằng: 

$$\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx = \int_{0}^{a}f(x)dx$$

b) Tính tích phân:

$$K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{1-x+\sqrt{1+x^2}}dx$$

 

Giải:

 

a.

 

Ta có:  $$I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+g(x)}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(-x)}{1+g(-x)}dx=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)g(x)}{1+g(x)}dx$$

 

$$\Rightarrow 2I=\int_{-a}^{a}\left ( \frac{f(x)}{1+g(x)}+\frac{f(x)g(x)}{1+g(x)} \right )dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$$

 

$$\Rightarrow I=\int_{0}^{a}f(x)dx$$

 

b. Áp dụng câu a.

 

 

Câu 3 (1 điểm) Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2014} = 0$. Chứng minh rằng:

$$(I-A)^{-1} = I + A + A^2 + ... + A^{2013}$$

 

Giải:

 

$$A^{2014}=0\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )+A\left ( I_n-A^{2013} \right )=I_n$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )+A\left ( I_n-A \right )\left ( I_n+A+\cdots+A^{2012} \right )=I_n$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( I_n-A \right )\left ( I_n+A+A^2+\cdots+A^{2013} \right )=I_n$$

 

$$\Leftrightarrow \left ( I-A \right )^{-1}=I_n+A+A^2+\cdots+A^{2013}\: \: \: \fbox{đpcm}$$

 

 

Câu 2 (2 điểm) Tính định thức:

$$\begin{vmatrix}a & ab &0  &...  &0 \\ 1 &a+b  &ab  &...  &0 \\ 0 &1  &a+b  &...  &0 \\ ... &...  &...  &...  &... \\ 0 &0  &0  &...  &a+b \end{vmatrix}$$

 

 

Giải:

 

Đặt $$D_n=\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

Áp dụng khai triến $Laplace$ cột đầu tiên, ta có:

 

$$D_n=\begin{vmatrix}a & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

$$=a\begin{vmatrix}1 & b &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

$$=a\begin{vmatrix}1 & b &0 &... &0 \\ 0 &a &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$

 

$$=aD_{n-1}=a^2D_{n-2}=\cdots=a^{n-1}D_{1}$$

 

$$=\fbox{$(a+b)a^{n-1}$}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 15-01-2014 - 15:42